2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷
题号 得分 评分人 复核人 （考试时间：2019年6月30日9：00－11：30，满分150分） 一 11 12 13 14 15 16 总分
一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上）
1、已知a??2，且A?x?2?x?a，B?yy?2x?3,x?A，C?tt?x,x?A，若
?????2?C?B，则a的取值范围是 .
uuuruuur2、?ABC的三边分别为a，b，c,O为?ABC的外心，已知b?2b?c?0，BC?AO的取值范
22围是 .
3、已知a=log4e,b=log34,c=log45,则a，b，c的大小关系是 . 4、若方程a?1?x2?x?1有实数解，则实数a的取值范围是 .
*5、在数列{an}中，a1＝2，an?an?1?1(n?N)，设Sn为数列{an}的前n项和，
则S2017?2S2018?S2019的值为 ．
uuuruuur6、在复平面内，复数z1,z2,z3的对应点分别为Z1,Z2,Z3,若z1?z2?2,OZ1?OZ2?0，
z1?z2?z3?2，则z3的取值范围是 . ln x，x>1，??
7、已知函数f(x)＝?11若m x＋，x≤1，??22 x2y28、已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、 43Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是 ． 9、已知x?0，y?0且11??1，则x?2y的最小值为 . 2x?yy?110、定义两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)之间的“坐标距离”为：d(P,Q)?|x1?x2|?|y1?y2|．若C(x, y)到点A(1, 3)，B(6, 9)的“坐标距离”相等，其中实数x、y满足0?x?10，0?y?10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为__________ 二、解答题（共6小题，满分80分。要求写出解题过程） urrurrxx2x11、（13分）已知向量m?(cos,?1),n?(3sin,cos)，设函数f(x)?m?n?1． 222?11（1）若x?[0,]， f(x)?,求cosx的值； 210（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA?2c?3a，求f(B)的取 值范围． 12、（13分）2019年数学奥林匹克竞赛试行改革：某市在高二一年中举行5次联合竞赛，学生如果其中2次成绩达到该市前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全市前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全市前20名的概率都是 1，每次竞赛成绩达全市前20名与否互相独立． 4（1）求该学生进入省队的概率． （2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为?，求?的分布列及?的数学期望． 13、（13分）已知数列{an}中，a1?1,a2?（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：对一切n?N，有 *(n?1)an1，且an?1?n?an4(n?2,3,4,L)． ?ak2?k?1n7． 6 14、（13分）已知三棱锥P?ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长等于22的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P?ABC中： （Ⅰ）证明：平面PAC?平面ABC； （Ⅱ）若点M为棱PA上一点且 PM1?，求二面角P?BC?M的余弦值． MA2PDAEACBF图2CB图1 x2y2x2y215、（14分）已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)，其短轴为4，离心率为e1，双曲线??1abmn（m?0，n?0）的渐近线为y??x，离心率为e2，且e1?e2?1. （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1?k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 116、（14分）已知函数f?x??x??lnx． x1（1）若f?x??x??lnx在x?x1，x2?x1?x2?处导数相等，证明：f?x1??f?x2??3?2ln2； x（2）若对于任意k????,1?，直线y?kx?b与曲线y?f?x?都有唯一公共点，求实数b的取 值范围．
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