第3讲 等比数列及其前n项和
1．等比数列的有关概念 (1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1＝q(q≠0，n∈N*)． an
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式
－
(1)通项公式：an＝a1qn1．
?na1，q＝1，
(2)前n项和公式：Sn＝?a1（1－qn）a1－anq
＝，q≠1.?1－q?1－q
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r； (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 4．等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0
a1n
当q≠1时，an＝·q，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，
q因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
?
1
已知数列{an}满足an＝an＋1，若a3＋a4＝2，则a4＋a5＝( )
21A．
2C．4
B．1 D．8
an＋11
解析：选C.法一：因为an＝an＋1得＝2，所以{an}为等比数列，其公比为2，又a3
2an
1
＋a4＝2得a1＝，则a4＋a5＝a1q3＋a1q4＝4.
6
1
法二：已知an＝an＋1，可得an＋1＝2an，所以a4＋a5＝2a3＋2a4＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.
2 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84 解析：选B.因为a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，所以3＋3q2＋3q4＝21. 所以1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． 所以a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.
设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5
＝________．
??a1＋a2＝4
解析：由于?，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所
??a2＝2a1＋1
111313Sn＋?，所以{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n以Sn＋1＋＝3?2??222223n－1
－1，即S＝，所以S5＝121. n
2
答案：1 121 (2019·浙江名校协作体高三下学期考试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足对任意的正整数n，均有Sn＋3＝8Sn＋3，则a1＝________，公比q＝________．
解析：由Sn＋3＝8Sn＋3，则Sn＋2＝8Sn－1＋3，两式相减得，an＋3＝8an?anq3＝8an，则q3＝8?q＝2，由等比数列前
a1（1－2n＋3）a1（1－2n）
n项和公式得，＝8·＋3，即2n＋3a1
1－21－2
3
－a1＝8·2na1－8a1＋3，从而解得a1＝.
7
3答案： 2
7
等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度有：
(1)求首项a1、公比q或项数n； (2)求通项或特定项； (3)求前n项和．
角度一 求首项a1、公比q或项数n
(1)已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( ) 1A．
31C．
9
1B．－
31D．－
9
(2)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________． 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9， 1
又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
9
a1（1－q3）1
(2)当q≠1时，＝3a1q2，解得q＝1(舍去)或－.当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3
21－q＝3a3也成立．
1
【答案】 (1)C (2)1或－
2 角度二 求通项或特定项
已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则an＝
________．
【解析】 由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． an＋11因为{an}的各项都为正数，所以＝.
an21
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
2
1
因此an＝n1.
2－【答案】
12n
－1
角度三 求前n项和
(2019·温州模拟)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列
{an}的前n项和等于________．
3??a1＋a1q＝9，
【解析】 设等比数列的公比为q，则有?
23??a1·q＝8，
?a＝8，???a1＝1，?1?a1＝1，
解得?或?1又{an}为递增数列，所以?
q＝2q＝2，q＝.??????2
1－2n
所以Sn＝＝2n－1.
1－2【答案】 2n－1
解决等比数列有关问题的三种常见思想方法
(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．
a1
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或当成整体进行求解．
1－q
1．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
a3
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的
a1
各项均为正数，
1－2k
所以q＝2.而Sk＝＝63，
1－2所以2k－1＝63， 解得k＝6.
2．(2019·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{an}的前n项和Sn满足：Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1＝________，Sn＝________．
an＋2（an＋2）2
解析：由题意知＝2Sn，平方可得Sn＝，①
28
a1＋2
由a1＝S1得＝2a1，从而可解得a1＝2.
2（an－1＋2）2
又由①式得Sn－1＝(n≥2)，②
8
（an＋2）2（an－1＋2）2
①－②可得an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，
88整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0 因为数列{an}的各项都是正数， 所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.
故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列， n（n－1）
所以Sn＝2n＋×4＝2n2.
2当n＝1时，S1＝a1＝2. 故Sn＝2n2. 答案：2 2n2
等比数列的判定与证明
(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3a5＝4，则下列说法正确的
是( )
A．{an}是单调递减数列 B．{Sn}是单调递减数列 C．{a2n}是单调递减数列 D．{S2n}是单调递减数列
35
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2
24＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
①求a4的值；
1??
②证明：?an＋1－2an?为等比数列．
?
?
【解】 (1)选C.由于{an}是等比数列，则a3a5＝a24＝4，又a2＝12，则a4＞0，a4＝2，1?16
q2＝，当q＝－时，{an}和{Sn}不具有单调性，选项A和B错误；a2n＝a2q2n－2＝12×??6?66
n－1
单调递减，选项C正确；当q＝－
6时，{S2n}不具有单调性，选项D错误． 6
33535
1＋?＝8?1＋＋?＋1， (2)①当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4(1＋＋＋a4)＋5??2??24?24
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