概率论和数理统计真题讲解
（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（ ） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0
C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B）
『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。
解析：A：
，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；
显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。
故选择A。
提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立；
② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。
2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（ A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3）
『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。
解析： ，
故选择C。
提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。
3.设随机变量X的概率密度为f （x）＝ 则P{0≤X≤}＝（ ）
『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页
解析： ，
故选择A。
提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。
）1
4.设随机变量X的概率密度为f （x）＝ 则常数c＝（ ）
A.－3 B.－1
C.－ D.1
『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。
解析：1＝
，所以c＝－1，
故选择B。
提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0；
4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页
5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（ ）
A.f （x）＝－e－x B. f （x）＝e－x
C. f （x）＝ D.f （x）＝
『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散；
C：
，正确；D：显然不正确。
故选择C。
提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足
，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（ ）
『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。
2
7.已知随机变量X的概率密度为f （x）＝ A.6 B.3
则E（X）＝（ ）
C.1 D.
『正确答案』分析：本题考察一维连续型随机变量期望的求法。
解析：解法一：根据记忆，均匀分布的期望为 解法二：根据连续型随机变量期望的定义，
；
故选择B。
提示：哪种方法熟练就用哪种方法。
8.设随机变量X与Y 相互独立，且X～B（16，0.5），Y服从参数为9的泊松分布，则D（X－2Y＋3）＝（ ）
A.－14 B.－11 C.40 D.43
『正确答案』分析：本题考察方差的性质。
解析：因为X～B（16，0.5），则D（X）＝n p（1-p）＝16×0.5×0.5＝4；Y～P（9）,
D（Y）＝λ＝9，
又根据方差的性质，当X与Y相互独立时，有
D（X－2Y＋3）＝D（X＋（－2）Y＋3）＝D（X）＋D（－2Y）＝4＋36＝40 故选择C。
提示：① 对于课本上介绍的六种常用的分布，它们的分布律（概率密度）、期望、方差都要记住，在解题中，可直接使用结论；
2
② 方差的性质：(1)D(C)=0 (2) D（aX＋b）＝aD（x）；
(3) 若X与Y相互独立时，D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）。
（4）D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y） 这里协方差cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）
9.设随机变量Zn～B（n，p），n＝1，2，?，其中0 『正确答案』分析：本题考察棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理。 解析：由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 3 故选择B。 提示：① 正确理解中心极限定理的意义：在随机试验中，不管随机变量服从何种分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的！ ② 如何记忆中心极限定理定理结论：定理5.4：独立同分布随机变量序列{Xi}，E（Xi）＝nμ，D（Xi） ＝nσ， 2 ，分布函数为Fn（x），则 拉普拉斯中心极限定理同样记忆。 ； 10.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，D（X）＝σ，则样本均值的方差D（）＝（ ） 2 『正确答案』分析：本题考察样本均值的方差。 解析：课本P122，定理6.1，总体X （μ，σ），则 故选择D。 （二）填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设随机事件A与B相互独立，且P（A）＝P（B）＝，则P（A2 ，E（S）＝ σ。 22 ）＝ . 『正确答案』分析：本题考察事件的独立性及“和事件”的概率的求法。 解析：因事件A与B相互独立，事件A与也相互独立，则 ，所以 故填写 。 提示：① 四对事件：（A、B），（A、），（ 、B），（、）其一独立则其三独立； ② 加法公式：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）是必考内容，记住！ 4 12.设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_________. 『正确答案』分析：本题考察古典概型。 解析： 故填写。 提示：不要发生计算错误！ 13.设A为随机事件，P（A）＝0.3，则P（）＝_________. 『正确答案』分析：本题考察对立事件概率。 解析： 故填写0.7 14.设随机变量X的分布律为.记Y＝X，则P{Y＝4}＝_________. 2 『正确答案』分析：本题考察随机变量函数的概率。 2 解析：P{Y＝4}＝P{X＝4}＝P{（X＝－2）}∪（X=2）}＝0.1＋0.4＝0.5； 也可求出Y的分布律 Y P 0 0.2 1 0.3 4 0.5 得到答案。 故填写0.5. 提示：互斥事件和的概率＝概率的和。 15.设X是连续型随机变量，则P{X＝5}＝_________. 『正确答案』分析：本题考察连续型随机变量在一点的概率。 ， 解析：设X的概率密度为f（x），则 故填写0. 提示：积分为0：①被积函数为0；②积分上限＝积分下限。 16.设随机变量X的分布函数为F（x），已知F（2）＝0.5，F（－3）＝0.1，则P{－3 提示：分布函数的性质： 1. F（x）＝P{X≤x}； 2.F（－∞） ＝0，F（＋∞）＝1； 3. P{a＜X≤b}＝F（b）－F（a）；； 4. F’（x）＝f（x），在f（x）的连续点。 5
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