定积分典型例题20例答案

分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．

21xx2x21解 ?xarcsinxdx??arcsinxd()?[?arcsinx]0??d(arcsinx)

0002221111x2dx． （1） ???4201?x2?令x?sint，则

?1x21?x2?0dx??20?2sintdsint??2?costdt??02sin2tdt

0cost1?sin2tsin2t?1?cos2ttsin2t??2 ??dt?[?]0?． （2）

2244将（2）式代入（1）式中得

?20?10xarcsinxdx??． 8?0例19设f(x)[0,?]上具有二阶连续导数，f?(?)?3且?[f(x)?f??(x)]cosxdx?2，求f?(0)．

分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于?[f(x)?f??(x)]cosxdx??f(x)dsinx??cosxdf?(x)

0???00??{?f(x)sinx?0??f?(x)sinxdx}?{[f?(x)cosx]?0??f(x)sinxdx}

00?????f?(?)?f?(0)?2．

故 f?(0)??2?f?(?)??2?3??5． 例20 计算???0dx． 2x?4x?3分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解

???0tdxdx1t11==limlim(?)dx 22x?4x?3t????0x?4x?3t???2?0x?1x?31x?1t1t?11=lim[ln]0=lim(ln?ln) t???2t???2x?3t?33=

ln3． 2