2013华师一附中自主招生考试数学模拟试卷[1]

2013华师一附中自主招生考试数学模拟试卷（二）

本卷满分150分 考试时间90分钟

一、选择题（每题5分，共30分）

1．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好 落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）

A．

AEBC2a2?2ab?b2?|b|化简的结果是______________.

a

8．随机掷三枚硬币，落地后恰有两枚正面朝上的概率是 .

9．设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(2x22+5x2－6)+a =2，则a= . 10．已知三角形的三边a、b、c都是整数，且满足abc+bc+ca+ab+a+b+c=7，则此三角形的面积等

于 .

11．已知方程x2??a?3?x?3?0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解

大于1小于2，则a的取值范围是 ． 12．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正

方形，其中C,D,E在AB上，F,N在半圆上．若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，计78分，写出必要的推算或演算步骤．） 13．（12分）已知二次函数y?x?2(m?1)x?2m?2

（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在某一函数图象上，并求出此图象的函数解析式； （2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为23，求出此二次函数的解析式。

14．（10分）如图所示，△ABC中AB=2，AC=3，

22???? B. C. D. 64322DF2．二次函数y??2x?4x?1的图象如何移动就得到y??2x的图象（ ）

A．向左移动1个单位，向上移动3个单位. B. 向左移动1个单位，向下移动3个单位. C. 向右移动1个单位，向上移动3个单位. D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.

b＋ca＋ba＋c

3．已知a、b、c为正实数，且满足 ＝ ＝ ＝ k ,则一次函数y?kx?k?5 的图象一

acb定经过（ ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ） A．y＝[

x?1] 10 B. y＝[

x?2] 10C. y＝[

x?3] 10D. y＝[

x?4] 105．正实数x,y满足xy?1,那么

11?的最小值为（ ） x49y4

C. 1 D.

2A．

3

5B.

42 ABPC6．如图，点P为弦AB上一点，连结OP，过P作PC?OP，PC交?O C，若AP=4，PB=2，则PC的长为 （ ） A．2 B. 3 C.

于

O点

1

∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积。

2 D. 22 二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）

7． 二次函数y＝ax2+(a－b）x—b的图象如图所示，那么

15．（14分）某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(a)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(b)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(c)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?

16．（15分）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．

（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）； （2）作EF⊥AB于点F（图2），求证：EF?17．（12分）已知p为质数，使二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，求出所有可能的

p的值。

18．（15分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC

＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米／秒． 1

（1）设点Q的运动速度为 厘米／秒，运动时间为t秒，

2

①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标； ②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．

（2）设点Q的运动速度为a厘米／秒，问是否存在a的值，

使得△OCP、△PAQ和△CBQ这三个三角形都相似？若存

在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． .

1OA； 2（3 ）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC

的正切值．

2

图1 图2 图3

华师一自主招生数学模拟试卷（二）参考答案

一、选择题（每题5分，共30分） 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 6 D 63?26x即 ?2 ∴ x?2x?1?64?62因此，S?BCD?二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7．-1 8．

113?269?6 ?……10分 BC?DF??(6?1)?22243 9．-16 8 10．

13 11． ?1?a?? 或a?3?23 12．25

2415．解：图（a）表明，输入传送带可运进货物13 t/h；图（b）表明，输出传送带可以运出货物15 t/h；

图（c）表明，在0:00～2:00时间段内仓库中货物增加

三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 13．解：（1）二次函数的顶点坐标为（m?1,m?2m?3），消去m得到 y?x?4x

故不论m为何值，二次函数的顶点都在抛物线y?x?4x上 ………………4分

（2）设二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，由已知x2?x1?23，再利用根与系数的关系得

22212?8?2 t/h。 2……5分

设此时有x条输入传送带、y条输出传送带在工作，则有13x?15y?2

故x??x1?x2?2(m?1) 又(x2?x1)2?(x1?x2)2?4x1x2，则 ?2?x1x2?2m?212?4(m?1)2?4(2m2?2)?m?0或?2 ………………8分

当m?0时，y?x2?2x?2 当m??2时，y?x2?6x?6 …………12分 14．解：如图，过C作CE⊥AB交AB于E。

15y?22y?2?y? 1313因0?y?20，故取2y?2?26，得x?14,y?12 ……………………9分 在4:00～5:00内，同理得方程

13x?15y??12 故x?15x?122y?12?y? 1313因0?x?20，0?y?20，取2x?12?0或2y?12?26， 得x?6,y?6或x?21,y?19(x?21不合题意,舍去)。…13分

答：在0:00～2:00内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；在4:00～5:00内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作。…………………………14分

则CE?AE?26 AC?2264?6∴ BE?2? ?22222又BC?CE?BE ∴BC?7?26?6?1……………………3分

16．解：由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以??4p?4(p?5p?1)?4(5p?1)是完全平方数，从而5p?1是完全平方数，令5p?1?n，n是正整数， 则 5p?(n?1)(n?1)

222 再过D作DF⊥BC，交CB的延长线于F，并设DF=CF=x，则 BF?x?BC?x?1?6 又Rt△DFB∽Rt△CEB ∴

DFCE? BFBE3

所以，5(n?1)(n?1)，即5(n?1)或5(n?1)。 …………………………5分

若5(n?1)，令n?1?5k，则p?k(5k?2)，由于p是质数，故k?1，p?7，此时方程为

yEFyyx2?14x?13?0，x1?1，x2?13满足条件。

若5(n?1)，令n?1?5k?，则p?k?(5k??2)，故k??1，p?3，此时方程为

x2?6x?7?0?0，x1??1，x2?7满足条件。…………………………11分

综上所述，所求的质数p为3或7 ………………………………12分 ．（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径 ∵OC为半圆M的直径 ∴∠CDO=90°

∴CD是半圆O的切线。

2）如图，以OC为直径作⊙M，延长EF交⊙M于点P，连结OD。………………4分

∵EF⊥CO

??∴EF?PF?12EP，EO?PO………………5分

∵CE平分∠DCB

∴∠DCE=∠ECO

???OD??EP?∴DE?OE……………7分

∴OD=EP

∴EF?112OD?2OA………………8分

（3）解：如图3，延长OE交CD于点K 设OF=x，EF=y，则OA=2y………………9分 ∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A

∴四边形AFEN是矩形

∴NE?AF?OA?OF?2y?x………………10分 易得E是OK的中点 ∴N是CK的中点

?CO?2NE?2(2y?x)

?CF?CO?OF?4y?3x?EF?AB，CE?EO

图3 ∴Rt△CEF∽Rt△EOF∴EF2?CF?OF，即y2?x(4y?3x) 解得

yyx?3或x?1…13分

当x?3时，tan?EOC?OF?x?3，当x?1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去 ∴tan∠EOC=3………………15分

18．解：（1）①S△CPQ=S矩形OABC?S△OCP?S△PAQ?S△BCQ………………1分 =60?12 ×6×t?111112 (10?t)·2 t?2 ×10(6?2 t)= 4 t2?3t+30

=1

4

(t?6)2+21 (0≤ t ≤10) ………………2分

故当t=6时，S△CPQ最小值为21, 此时点Q的坐标为(10,3) ………………3分 1②如图，当∠1＝∠2时，OCQA62

t

OP =PA ,∴t =10?t

∴1

2 t2+6t?60=0 解得t1= ?6+239 , t2= ?6?239 （舍去）………………5分 当∠1=∠3时，6t ＝10?t

1

，解得t=7, 因此，当t= ?6+239 或7时，

2

t即当Q点的坐标为(10,?3+39 )或(10, 7

2 )时△COP与△PAQ相似。………………7分

⑵设P、Q运动时间为t秒，则OP=t, AQ=at.

① 当∠1=∠3=∠4时，OCPABC610?t10

OP ＝AQ =BQ , t =a t =6?a t

解得t=18(舍去)，此时a=48

1=2, t23 , Q点的坐标为(10, 3 )………8分

②当∠1=∠3=∠5时，∠CPQ=∠CQP=90?不成立；………… 10分 ③当∠1=∠2=∠4时，OCAQBC6at10

OP ＝PA =BQ , t =10?t =6?a t

得5t2?36t+180=0, △＜0, 方程无实数解；………………12分

④当∠1=∠2=∠５时，由图可知∠1=∠PCB＞∠5,故不存在这样的a值；……………14分 综上所述，存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似，

此时a=48

3 , Q点的坐标为(10, 3 )………………15分

4

17

（