所以Sn＝2＋2×2＋3×2＋…＋n×2，
所以2Sn＝2＋2×2＋3×2＋…＋(n－1)×2＋n×2两式相减得－Sn＝2＋2＋…＋2－n·2所以Sn＝(n－1)2
考点3 裂项相消法求和
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于?
??anan＋1?
n＋1
2
2
3
4
23nnn＋1
，
nn＋1
＝(1－n)2
n＋1
－2，
＋2.
1??1?
?或??(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．
?anan＋2?
[例3] [2019·湖南省湘东六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式an； (2)记bn＝
12
，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．
an·an＋1n*
*
【解析】 (1)由已知有Sn－Sn－1＝1(n≥2，n∈N)，∴数列{Sn}为等差数列，又S1＝
a1＝1，∴Sn＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1. 又a1＝1也满足上式，∴an＝2n－1.
1?11?1
－(2)由(1)知，bn＝＝??，
?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
11?1?1?1?111n－1－∴Tn＝?1－＋－＋…＋＝＝. ???3352n－12n＋1?2?2n＋1?2n＋12?222
由Tn≥得n≥4n＋2，即(n－2)≥6，∴n≥5，
2
2
n∴n的最小值为5.
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则
1?1?1?111?1
＝?－，＝?－??. anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?1
- 5 -
『对接训练』
21*
3．[2019·安徽池州期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝Sn＋(n∈N)．
33(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝1
log3an＋1＋log3an＋2
，求数列{bn}的前n项和Tn.
2131
解析：(1)由an＝Sn＋，可得Sn＝an－，
332231
当n≥2时，Sn－1＝an－1－，则
22
1??31?333?3
an＝Sn－Sn－1＝?an－?－?an－1－?＝an－an－1，整理得an＝3an－1(n≥2)，而a1＝S1＝a1
2??22?222?21
－，即a1＝1， 2
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝1×3公式为an＝3
n－1
n－1
＝3
n－1
.故数列{an}的通项
.
log3an＋1＋log3an＋2
1
(2)由(1)得bn＝＝
1
1
＝ n－1n－1
log33＋1＋log33＋2n＋n＋1
＝n＋1－n，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n＋1－n)＝
n＋1－1.
考点4 分组转化求和
分组求和法
一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并．
[例4] [2019·天津南开附中期中]已知数列{an}是等比数列，满足a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足b2＝4，b4＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式． (2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前n项和． 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q，
a4243
由题意，得q＝＝＝8，解得q＝2，
a13
- 6 -
∴{an}的通项公式为an＝a1q∴a3＝12.
n－1
＝3×2
n－1
，
设等差数列{bn}的公差为d， ∵b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d， ∴12＝4＋2d，解得d＝4.
∴bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4. 故{bn}的通项公式为bn＝4n－4. (2)由(1)知an＝3×2∴cn＝an－bn＝3×2
n－1
，bn＝4n－4，
n－1
－(4n－4)．
0
1
从而数列{cn}的前n项和Sn＝3×2＋3×2＋…＋3×2
nn－1
－[0＋4＋8＋…＋(4n－4)]＝
1－2n?4n－4?nn23×－＝3×2－3－n(2n－2)＝3×2－2n＋2n－3.
1－22
1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．
形如an＝(－1)f(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组.
n『对接训练』
4．[2016·高考全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和． 解析：(1)设{an}的公差为d， 据已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
- 7 -
??1，10≤n<100，
(2)因为b＝?2，100≤n<1 000，
??3，n＝1 000，
n0，1≤n<10，
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
课时作业10 递推数列及数列求和的综合问题
1．[2019·湖北华中师大一附中期中]已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N)．
(1)求证：数列??是等差数列，并求其通项公式；
?n??an?
*
(2)设bn＝2an－15，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴
?an??n?
*
an＋1an－＝2， n＋1n∴数列??是等差数列，其公差为2，首项为2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，∴bn＝2an－15＝2n－15， 则数列{bn}的前n项和Sn＝
2
annn?－13＋2n－15?
2
＝n－14n.
2
2
2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x－dx－3<0的解集为(－1,3)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2
an＋1
2
＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.
2
解析：(1)由题意知，方程a1x－dx－3＝0的两个根分别为－1和3.
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