d??a＝2则?3
－??a＝－3
1
1
2
3
??d＝2
，解得?
??a1＝1
.
故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2
nan＋1
2
＋an＝2＋(2n－1)，
n＋1
n所以Sn＝(2＋2＋2＋…＋2)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2＋n－2.
2
2an－1＋an＋1
3．[2019·江西七校第一次联考]设数列{an}满足：a1＝1,3a2－a1＝1，且＝
anan－1an＋1
(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且b1＝，4bn＝an－1an(n≥2)，求Tn.
22an－1＋an＋1211
解析：(1)∵＝(n≥2)，∴＝＋(n≥2)．
anan－1an＋1anan－1an＋1
又a1＝1,3a2－a1＝1， 113∴＝1，＝， a1a22111∴－＝， a2a12
?1?1
∴??是首项为1，公差为的等差数列．
2?an?
111
∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)， an22即an＝
2
. n＋1
(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)， ∴bn＝
111
＝－(n≥2)，
n?n＋1?nn＋1
1?1?11?1?1
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋?－?＋…＋?－＝1－ ?2?23?n＋1?nn＋1?
4．[2019·昆明市诊断测试]已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2
＝2，S3＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设m∈Z，若Sn - 9 - ??a1q＝2 解析：(1)由a2＝2，S3＝7得?2 ?a1＋a1q＋a1q＝7? a1＝4?? 解得?1 q＝??2 ??a1＝1 或? ?q＝2? n(舍去)． ?1?n－1?1?n－3 所以an＝4·??＝??. ?2??2? ?1?4?1－n? a1?1－q??2? (2)由(1)可知，Sn＝＝ 1－q1 1－2?1?＝8?1－n?<8. ?2? 因为an>0，所以Sn单调递增． 又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7,8)． 又Sn 5．[2019·浙江诸暨中学期中]设数列{an}满足a1＋3a2＋3a3＋…＋3(1)求数列{an}的通项公式； 2 n－1 nan＝，n∈N*. 3 n，n为奇数，?? (2)设bn＝?1 ，n为偶数，??an2 求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)a1＋3a2＋3a3＋…＋3 2 n－1 nan＝ ①， 3 当n≥2时，a1＋3a2＋3a3＋…＋3①－②，得3 n－1 n－2 n－1an－1＝ ②， 3 11 ·an＝(n≥2)，即an＝n； 33 1 当n＝1时，a1＝，符合上式． 31 所以数列{an}的通项公式为an＝n. 3 ?n，n为奇数，? (2)由(1)知bn＝?n??3，n为偶数， ①当n为奇数时，Sn＝1＋3＋3＋3＋…＋3 24n－1 ?1＋n??1＋n? ＋n＝·＋ 22 ?9?1－9? n－1 2 ? 1－9 ＝ - 10 - n2＋2n＋19 4 ＋(38 n－1 －1)． 9?1－9?2 2n9[1＋?n－1?]n24n②当n为偶数时，Sn＝1＋3＋3＋3＋…＋(n－1)＋3＝·＋＝＋221－948(3－1)． nn??4＋8?3－1?，n为奇数， 所以数列{b}的前n项和S＝?n9 ??4＋8?3－1?，n为偶数. n－1 nn2 n2＋2n＋19 n 6．[2019·安徽合肥模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，且a2a3＝40，a1 ?11111? ＋a4＝13，在公比为q(0 ?60322082? (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析：(1)因为{an}为等差数列，所以a1＋a4＝a2＋a3＝13，又a2a3＝40，所以a2，a3是方程x－13x＋40＝0的两个实数根．又公差d>0，所以a2 所以? ?a1＋d＝5，? 2 ??a1＋2d＝8， 解得? ?a1＝2，???d＝3， 所以an＝3n－1， ?11111?因为在公比为q(0 ?60322082? 111 所以易知b1＝，b3＝，b5＝. 2832 b311?1?n2 此时公比q＝＝，所以q＝，所以bn＝??. b142?2? 1?n1?n??(2)由(1)知an＝3n－1，bn＝??，所以cn＝(3n－1)·??， ?2??2? ?1?1?1?2?1?3?1?n所以Tn＝2×??＋5×??＋8×??＋…＋(3n－1)×??， ?2??2??2??2? 1?1??1??1??1?Tn＝2×??2＋5×??3＋…＋(3n－4)×??n＋(3n－1)×??n＋1， 2?2??2??2??2? 1?1?1?1?2?1?3?1?n?1?n＋1＝1＋3×1两式相减，得Tn＝2×??＋3??＋??＋…＋??－(3n－1)×??22?2??2??2??2??2? ?1－?1?n－1?－(3n－1)×?1?n＋1＝5－?1?n×3n＋5. ??2???2???2?2?2?????? ?1?n故{cn}的前n项和Tn＝5－(3n＋5)×??. ?2? - 11 - - 12 -
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