《通信原理》习题第一章
第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，它具有如下概率分布：P(错误！未找到引用源。=0)=0.5，?是一个离散随机变量，P(?=错误！未找到引用源。/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(错误！未找到引用源。=0)2错误！未找到引用源。+P(错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。/2)错误！未找到引用源。 cos?t
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t???t?j?t???(1?j?)tX(?)????x(t)edt?4eedt?4dt????0?0e4 1?j?2416则能量谱密度 G(f)=错误！未找到引用源。= 错误！未找?221?j?1?4?f到引用源。
习题2.4 X(t)=错误！未找到引用源。，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为错误！未找到引用源。。试求：
(1)E[X(t)]，E[错误！未找到引用源。]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2) 解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
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2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex22s2?t?sin2?t??2??2 故 EX2?t???co2????????(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x???z2??。 exp??2??2???2??1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2??
2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2?cos2??t2?t1? ??2cos
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t错误！未找到引用源。的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：R(t，t+错误！未找到引用源。)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 22A2功率P=R(0)=
22?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。
习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：错误！未找到引用源。(t,t+错误！未找到引用源。)=E[X(t)X(t+错误！未找到引用源。)]=E[错误！未找到引用源。]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)错误！未找到引用
源。
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)错误！未找到引用源。，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数错误！未找到引用源。的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密
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度错误！未找到引用源。和功率P。
?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
?1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px????11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2????Sa???2????0??1?????0??Sa2?4??2
2????1P?2?
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22sin?f错误！未找到引用源。。试求此?f2习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =信号的自相关函数错误！未找到引用源。。
sin?f解：x(t)的能量谱密度为G(f)=错误！未找到引用源。=错误！未找到引
?f用源。
?1??, ?1???0?j2?f?G(f)edf?0???1 其自相关函数RX????????1?????0,其它?
习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。
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解：(1)Pn(f)??用源。
????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2错误！未找到引2k?(2?f)2 P?Rn?0??k2
(2)错误！未找到引用源。和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
Rn???1 Pn?f?k20 ?0 图2-2
fR(?)?1??, ?1???1
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。
解：P??源。
????PX(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 错误！未找到引用3?e?t/?,t?0习题2.13 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高
?0,t?0通滤波器（见图2-3）上，RC＝错误！未找到引用源。。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=错误！未找到引用源。
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=错误！未找到引用源。
输出信号y(t)的能量谱密度为
C R 图2-3RC 高通滤波器
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