《通信原理》习题第一章
wR(?)?1???Sa2()2 解：见第2. 4 题
因为
?T(t)??n????(t?2n)? 所以
?(t)?R(?)*?T(t)
据付氏变换的性质可得
?P?(w)?PR(w)F?(w)?而
?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故
习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为频率为
wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角
、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）
Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2
?因为w0又
G2w0(w)?Sa(w0?),故
G2B?(w)?BSa(B??)
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
12?1由 付氏变换的性质 可得
f1(t)f?)2(tF(w)*2F(w)
n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?
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《通信原理》习题第一章
（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?02(t)]?Bn0；
R(?)?E2[?o(t)]?0
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn2?Bn00
n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC
的白噪声
(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2
(2) 因为
exp(?a?)?po(w)?2aw2?a2
所以
?n0n01*?R(?)?exp(?)O22(wRC)?14RCRC
n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为
（2） 求输出噪声的方差。
RR?jwL
2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数；
解：
H(w)?
R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?R(?)?exp(?)O22R?(wL)4LL (1)
(2)
E[n0(t)]?0；
n0R4L
Tb?2?R(0)?R(?)?R(0)?习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔
，脉冲
Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
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《通信原理》习题第一章
关，且过程具有宽平稳性，试证：
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??Tb2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]（1） 自相关函数（2） 功率谱密度
解： （1）
。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
2Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
1T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(b?)Tb4TTb b在图示的一个间隔内，
?11Tb???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(?)?1???Tb44TTbTb b当时，
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《通信原理》习题第一章
故
（2）
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??Tb
面积。所以
R?(?)?p?(w)?TbSa2(wTb)2。
?A?2w?A?Sa()24,其中2为时域波形的
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，?(t)是平稳的，求
?1(t)与?2(t)的互功率谱密度的表示式。
（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
???1(t)???(t??)h1(?)d?00
R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]??2(t)???(t??)h2(?)d?
??E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]00?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00
????所以
P12(w)????R12(?)e?jw?d?????d????jw?d?[h(?)h(?)R(?????)ed???12???'?令??????
??jw???jw?P12(w)??h(?)e0d??h(?)e0d??[R?(?')e?jw?d?'?H1*(w)H2(w)P?(w)??'
习题2.29若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为相关函数及功率谱密度。
解：
R?(?)，试求它通过系统后的自
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