中考试题分类汇编相似三角形

56、（2013?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当

时，求

的值；

OA；

（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=

（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

考点：相似形综合题． 分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面 积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解； （2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得； （3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得． 解答： （1）解：∵=， ∴=． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴∴==， =， ∴==； （2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF， 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线． ∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF， 在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=∴AF=OA． （3）证明：连接OE． ∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点． ∴点O是BD的中点． 又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD，OE=CD， ∴△OFE∽△CFD． ∴∴==， =OA， =． 又∵FG⊥BC，CD⊥BC， ∴FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴==． 在直角△FGC中，∵∠GCF=45°． ∴CG=GF， 又∵CD=BC， ∴∴==， =． ∴CG=BG． 点评：本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用， 理解正方形的性质是关键．

57、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．

(1)求线段BC的长；

(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：

111

(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BEF,使点E的对应点E落在线段AB上，点F的对应点是F，EF交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 1

11

3QG? 3

考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程

0，

分析：（1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30

由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC为6 ，从而BC=33 （2）过点Q作QN∥0B交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=t PN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后 对应边成比例计算得OE?31?t再由EF=BE易得出m22与t之间的函数关系式

0

(3)先证△AE’G为等边三角形，再证∠QGA=90

通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出

解答：(1)解：如图l∵△AOB为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。

000

∵BC⊥AB ∴∠ABC=90 ∴∠ACB=30∠OBC=30 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴BC=3AC=33 2(2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N

0

∴∠QNA=∠BOA=60=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t

∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ ∴

OEPO ?QNPN∴

OE131?∴OE??t 3?t222∵EF∥x轴

0

∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE?(0

(3)解：如图2

??BE1F1??BEF?180???EBF??EFB?120? ∴∠AEG=600=∠EAG

1

∴GE=GA ∴△AE’G为等边三角形

13t? 221331?QE1?BE1?BQ?m?t?t??t??t

222231?QE1?GA?AE1?AB?BE1?BQ??t?QE1

22∴∠l=∠2 ∠3=∠4

00

∵∠l+∠2+∠3+∠4=180∴∠2+∠3=90

0

即∠QGA=90

∵EF∥OC

?BFBE?BCBO?BFm333??BF?3m?t?22333?BC?CF?313?322

CP?CO?OP?3?t

313?3tCF23?tCP2???? CB6CA33

∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA．

?33?t331PFCP3?t∵2BQ—PF=QG ∴2t???(3?3t)∴t=1∴??PF?32322ABCA23QG 3当t=1 时，2BQ—PF=