【高中数学】《集合与常用逻辑用语》知识点汇总
一、选择题
1．下面说法正确的是（ ）
A．命题“若??0，则cos??1”的逆否命题为真命题 B．实数x?y是x2?y2成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p?q”为假命题，则“?p??q”也为假命题
2D．命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，使得x2?x?1?0”
【答案】A 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
A. 命题“若??0，则cos??1”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由x2?y2得x?y或x??y，所以实数x?y是x2?y2成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p，q为简单命题，若“p?q”为假命题，则p,q都是假命题，则“?p??q”为真命题，所以该选项错误；
2D. 命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，使得x2?x?1?0”，所以该
选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知集合A??xA．?0,1,3? 【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解A,B，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合A??x8?x?3????0?，B??xx?N,?N?，则AIB=（ ）
x?1?x?7???B．??3,?2,1,3?
C．?0,1,3,7?
D．??3,?2,0,1,3?
8?x?3????0????3,7?，B??xx?N,?N???0,1,3,7?，
x?1?x?7???所以AIB??0,1,3?． 故选：A． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A,B，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3．已知公比为q的等比数列?an?的首项a1?0，则“q?1”是“a5?a3”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
2根据等比数列的性质可得a5?0,a3?0，若a5?a3，可得q?1，然后再根据充分条件和
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q的等比数列?an?的首项a1?0， 所以a5?0,a3?0，
22若a5?a3，则a3q?a3，所以q?1，即q?1或q??1，
所以公比为q的等比数列?an?的首项a1?0， 则“q?1”是“a5?a3”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
0；命题q:直线l:x?y?m?0与圆4．已知命题p:?x?R,sinx?cosx?1…C:(x?2)2?(y?1)2?8相切的一个充分不必要条件是m??5；则下列命题中是真命题
的是（ ） A．p 【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p，利用特殊值判断命题p为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m的值，判断出命题q为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
B．p?(?q)
C．(?p)?q
D．p?q
命题p:?x?R,sinx?cosx?1?0 由辅助角化简可得sinx?cosx?1?可知当x?????2sin?x???1，
4????3??时，2sin?x???1?0，故p为假；
4?4?22命题q:直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切的一个充分不必要条件是
m??5
22若直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切，则d?|2?1?m|?22， 2即d?|m?1|?4，解得m?3或m??5，故q为真， 故(?p)?q为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
5．已知命题p:“关于x的方程x2?4x?a?0无实根”，若p为真命题的充分不必要条件为a?3m?1，则实数m的取值范围是（ ） A．[1,??) 【答案】B 【解析】
【分析】
求出p为真命题时，a的取值，由充分不必要条件的性质，得出3m?1?4，即可得出答案.
【详解】
当p为真命题时，??16?4a?0，即a?4 令A?{a|a?4}，B?{a|a?3m?1}
因为p为真命题的充分不必要条件为a?3m?1，所以B即3m?1?4，解得m>1 故选：B 【点睛】
本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.
B．(1,??)
C．(??,1)
D．(??,1]
A
6．下列命题为真命题的个数是（ ） ①?x?xx是无理数}，x2是无理数；
rrrrrr②若a?b?0，则a?0或b?0；
?③命题“若x2?y2?0，x?R，y?R，则x?y?0”的逆否命题为真命题；
ex?e?x④函数f?x??是偶函数.
xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x?2时，x2?2为有理数，故①错误；
rrrrrrrr对于②中，若a?b?0，可以有a?b，不一定要a?0或b?0，故②错误；
22对于③中，命题“若x?y?0，x?R，y?R，则x?y?0”为真命题，
B．2 C．3 D．4
其逆否命题为真命题，故③正确；
e?x?exex?e?x对于④中，f??x????f?x?，
?xx且函数的定义域是(??,0)U(0,??)，定义域关于原点对称， ex?e?x所以函数f?x??是偶函数，故④正确.
x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
7．已知圆C:x2?(y?1)2?r2(r?0)，设p:0?r?32；q：圆C上至多有2个点到直线x?y?3?0的距离为2，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
由圆C的圆心为(0,1)，得到其到直线x?y?3?0的距离为22，利用“r,d”法，分析当
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
0?r?2，r?2，2?r?32，r?32，r?32时，圆C上的点到直线
x?y?3?0的距离为2的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C的圆心为(0,1)，其到直线x?y?3?0的距离为22．
当0?r?当r?2时，圆上没有点到直线的距离为2；
2时，圆上恰有一个点到直线的距离为2；
当2?r?32时，圆上有2个点到直线的距离为2； 当r?32时，圆上有3个点到直线的距离为2； 当r?32，圆上有4个点到直线的距离为2．
若圆C上至多有2个点到直线x?y?3?0的距离为2，则0?r?32． 所以p是q的充要条件． 故选：C． 【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
8．已知集合P?x0?lgx?2lg3，Q??xA．?0,2? 【答案】D 【解析】 【分析】
集合P,Q是数集，集合P是对数不等式解的集合，集合Q是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：P?x1?x?9，Q?x0?x?2；
B．?1,9?
????2?1?，则PIQ为( )
?2?x?C．?1,4?
D．?1,2?
?????P?Q??1,2?.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0?a?1和a?1 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
9．已知x，y?R，则“x?y”是“A．充分而不必要条件
x?1”的（ ） yB．必要而不充分条件
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