=2x1﹣﹣(2x2﹣
)
=(x1﹣x2)(2+
),
∵x1﹣x2<0, ∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(﹣∞,0)上是增函数,
同理可证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
点评: 本题考查了函数的单调性,利用定义证明是判断函数的单调性的方法之一,本题是一道基础题.
19.(14分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x﹣4x. (1)求f(﹣1)的值;
(2)当x<0时,求f(x)的解析式.
考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用偶函数的定义,将f(﹣1)转化为f(1),从而代入已知解析式得解; (2)利用偶函数的定义,若x<0,则﹣x>0,代入已知解析式且f(﹣x)=f(x),得所求解析式;
解答: 解:(1)∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(﹣1)=f(1)=1﹣4×1=﹣3 (2)若x<0,则﹣x>0 ∵f(﹣x)=f(x)
2
∴f(x)=f(﹣x)=[(﹣x)﹣4(﹣x)]=x+4x
点评: 本题考查了偶函数的定义及其应用,函数的奇偶性是函数的重要性质,属于基础题.
20.(14分)函数f(x)=x﹣2ax﹣1,x∈[0,2].
(1)若a=1,写出函数f(x)在[0,2]上的单调区间(不必证明); (2)求函数f(x)在[0,2]上的最值.
考点: 二次函数的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
2
分析: (1)f(x)=x﹣2x﹣1,开口向上,对称轴为x=1;从而写出单调区间. (2)由二次函数的性质,讨论对称轴的位置,以确定最值.
2
解答: 解:(1)f(x)=x﹣2x﹣1, 开口向上,对称轴为x=1;
则函数f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增; (2)①若a≤0,则f(x)在[0,2]上单调递增, 则fmax(x)=f(2)=4﹣4a﹣1=3﹣4a, fmin(x)=f(0)=﹣1,
②若0<a≤1,则f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增; 且f(0)≤f(2),
22
2
则fmax(x)=f(2)=4﹣4a﹣1=3﹣4a,
2
fmin(x)=f(a)=﹣a﹣1,
③若1<a<2,则f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增; 且f(0)>f(2),
则fmax(x)=f(0)=﹣1,
2
fmin(x)=f(a)=﹣a﹣1,
④若a≥2,则f(x)在[0,2]上单调递减,
则fmax(x)=f(0)=﹣1, fmin(x)=f(2)=3﹣4a.
点评: 本题考查了二次函数的图象与性质,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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