高等数学B上复习

华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导

一、 求函数值 例题：

1、若f(x)?x2，?(x)?ex，则f(?(x))?． 解：f(?(x))?f(e)??exx2??e2x

2、若f(x?1)?2x?1，则f(x)?． 解：令x?1?t，则x?t?1 所以f(t)?2(t?1)?1?2t?3

即f(x)?2x?3

二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：

无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用

相应的等价无穷小替换

例题：

sin33x?？ 1、lim2x?0xsin3x~3x， 解：当x?0，(3x)3原式=lim2?lim27x?0

x?0x?0xsin3x2、lim?？

x?0x解：原式=lim3x?3 x?0x1-cosx3、lim?？ 2x?0x解：当x?0，1-cosx~12x 212x12原式=lim2?

x?0x24、limln(1?3x)?？

x?0x解：当x?0，ln(1+3x)~3x 原式=.lim3x?3. x?0xe2x?15、lim?？

x?0x解：当x?0，e2x?1~2x 原式=.lim2x?2. x?0x三、 多项式之比的极限

x2?113x2?xx?，lim?? lim2?0，lim2x??3x?xx??3x?x3x??x四、 导数的几何意义（填空题）

f?(x0)：表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率

曲线..y?f(x)..在点M(x0,f(x0))处的切线方程为： 曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为： 例题： 1、曲线y?解：y?x?24?x在点M(2,3)的切线的斜率． 4?x(4?x)'(4?x)?(4?x)(4?x)? ?2(4?x)x?2cosx在点M(0,1)处的切线方程． xe2、曲线y?解：y?x?0(cosx)'ex?cosx(ex)? ?x2(e)x?0所以曲线y?cosx在点M(0,1)处的切线方程为： xey?1??(x?0)，即x?y?1?0

3、曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程． 2??

3x?125解：y?x?1??x33所以曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程为：

2y?1??(x?1)，即2x?3y?5?0

3五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： 微分：dy?f?(x)dx 例题：

1、设y?x2?1，则y'?？

1?1解：y'??x2?1?2??x2?1???2xx?12

2、设y?sinx2，则y'?？ 解：y?cosx??x'22'??2xcosx

2'3、设y?2sinx，则dy?？

解：y'?2sinxln2??sinx??2sinxcosxln2 则dy?2sinxcosxln2dx 4、设y?sinex，则dy?？ 解：y?cose??e'xx'??excosex

所以dy?excosexdx 5、设y?e?x2，则dy?？（答案：?2xe?x2dx）