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真,得p,q一真一假，分别求对应方程组的解，可得m的取值范围.
试题解析：将方程x2y2x22m?m?1?1改写为2m?y21?m?1，
只有当1?m?2m?0 即0?m?13 时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆， 所以命题p等价于0?m?13； 因为双曲线y25?x2m?1的离心率e?(1,2) ，
所以m?0 ，且1?5?m5?4 ，解得0?m?15 ， 所以命题q等价于0?m?15;
若p真q假，则m?? ；若p假q真，则
13?m?15 综上：m的取值范围为
13?m?15 19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为
，
的等差中项.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.
【答案】(1) A；(2) b＝c＝2.
【解析】 【详解】(1)∵为，的等差中项，
∵
,∴A
(2)△ABC的面积，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
20.设a为实数，函数f(x)?x3?x2?x?a. （1）求f(x)的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y?f(x)与x轴仅有一个交点？
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【答案】（1）极大值是f(?)?【解析】
1355?a，极小值是f(1)?a?1.（2）a?(??,?)?(1,??)
2727【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的极大值是f(－)＝极小值是f(1)＝a－1.
＋a，
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0， 曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0， 即
＋a＜0或a－1＞0， ∴a＜－
或a＞1，
)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
＋a，
∴当a∈(－∞，－
点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右
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侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
x2y221.设椭圆C：2?2?1(a?b?0)过点Qab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
?2，1，右焦点为F??2，0，
?（Ⅱ）设直线l：y?k?x?1?(k?0)分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若CN?MD，求k的值，并求弦长MN．
x2y2【答案】(Ⅰ) ??1
42(Ⅱ) MN?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?【解析】
试题分析：(Ⅰ)将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
342. ?1?6?22(Ⅱ)求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表
示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长MN． 试题解析：
(Ⅰ)椭圆过点Q可得
?2，1，
?21?2?1，由题意可得c?2，即a2?b2?2， 2ab解得a?2，b?2，
x2y2即有椭圆C的方程为??1；
42(Ⅱ)直线l：y?k?x?1?与x轴交点C?1，0?，y轴交点D?0，?k?，
22??x?2y?42222联立?，消y得，1?2kx?4kx?2k?4?0，①
??y?k?x?1??? - 11 -
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4k2设M?x1，y1?，N?x2，y2?，则x1?x2?， 21?2kCN??x2?1，y2?，MD???x1，?k?y1?，
4k2由CN?MD，得：x1?x2??1， 21?2k解得k??22代入① .由k?0得k?22得2x2?2x?3?0，
3x1?x2?1，x1x2??，
2可得MN?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?22.已知双曲线C:x-y=1及直线l:y=kx+1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长. 【答案】（1）?2,?1???1,1??1,2；（2）6 【解析】 【分析】
（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围． （2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可． 【详解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组根,整理得(1-k)x-2kx-2=0,∴
直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2=∵- 且k≠±1, =-4,∴|AB|= · =6. =2 2 22 2 342． ?1?6?22????有两个不同的实数 且k≠±1.故双曲线C与). . 解得- ,-1)∪(-1,1)∪(1,,即 k2+k- =0,解得k=或k=- ∴k=,∴x1x2= 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． - 12 -
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