高中数学立体几何经典题型的解法

rruuurruuur解：设平面ABC的法向量n?(x,y,z),Qn?AB?0,n?AC?0，所以

3??(x,y,z)?(2,?2,1)?0?2x?2y?z?0?x??z??，?2 ?4x?6z?0??(x,y,z)?(4,0,6)?0??y??zrruuurz??2,则n?(3,2,?2)，?cos?n,AD??3?(?7)?2?(?7)?2?73?2?(?2)?(?7)?(?7)?7222222

uuurruuuuur494917所以设D到平面ABC的距离为d，d?AD?cos?n,AD?? ?1717 例2：

解：（1）建立如图所示空间直角坐标系O?xyz.

uuuurrauuu2?aF(1,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),AM?(1?)AC?(0,1,1),

22uuurruuurrauuurauuuauuu1BN?BF,AN?(1?)AB?AF?(a,2?a,0)

2222uuuuruuuruuuuruuuur1221MN?AN?AM?(a,0,a?2)?MN?(a?)?(0pa2)

222ruuuur2uuuu2221,MN?(2)由MN?(a? )?得a?min2222r1uuur1uuur12uuuu,MN?(1,0?1),又MA?(0,?1,?1),MB?(0,1,?1) （3）Qa?2222uruur所以可求得平面MNA与平面MNB的法向量分别为n1?(?1,1,?1),n2?(1,1,1)，

uuruur所以cos?n1,n2?? 例3：

解：如图建立坐标系，

D A x B z D1M ?111??，所以????arccos

333?3C1B1N C y

A1则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1)

uuuruuuur?AB1?(0,1,1),AC,1,0)， 11?(?1设MN是直线A1C1与AB1的公垂线， 且

uuuruuuruuuuruuuurAN??AB1?(0,?,?),AM?uAC111?(?u,u,0)则

uuuuruuuuruuuruuurMN?MA1?AA1?AN??(?u,u,0)?(0,0,1)?(0,?,?)?(u,??u,??1)

2?uuuuruuuur????????2u?0?MN?A1C1?0?3,????， ruuur?uuuu2??u??11??MN?AB1?0?u????3?uuuuruuuur1113MN?(?,,)?MN?

3333 例4：

解：QBC1//AD1,AD1?平面ACD1,?BC1//平面ACD1， 同理A1B//平面ACD1,

又A1BIBC1?B,?平面A1BC1//平面ACD1，建立直角坐标系D?xyz，

QAB?4,BC?3,CC1?2，A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2) ruuuruuuurn?A1B?(0,4,?2),BC1?(?3,0,2),设?(x,y,z)为

平面A1BC1的法向量，

D1 z C1 B1 y

ruuurruuur则n?A1B?n?A1B?0,?4y?2z?0, ruuuurruuuur由n?BC1?n?BC1?0??3x?2z?0， 12r21不妨设z?1,?y?,x?,?n?(,,1)

2332

二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。 例5：

A1 D C x A B 解：（1）如图建立坐标系，则A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,'uuuruuura'?AC?(a,a,?a),DE?(a,?,0)，

2uuuruuur'uuuruuurAC?DE15' ?cos?AC,DE??uuuruuu?r'15AC?DE故AC与DE所成的角为arccos'a,0) 215 15（2）Q?ADE??ADF,所以AD在平面B'EDF内的射影在?EDF的平分线上，又

B'EDF为菱形，

?DB'为?EDF的平分线，故直线AD与平面B'EDF所成的角为?ADB'，

建立如图所示坐标系，

uuuuruuur则A(0,0,0),B(a,0,a),D(0,a,0)，?DA?(0,?a,0),DB'?(a,?a,a)，

ruuuruuuuruuuruuuuDA?DB'3' ?cos?DA,DB??uuur?ruuuu'3DA?DB'故AD与平面BEDF所成角为arccos'''3 3由A(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,a),D(0,a,0),E(a,ruruuu所以平面ABCD的法向量为m?AA'?(0,0,a)

下面求平面BEDF的法向量，

'a,0)， 2uuurruuuraa'设n?(1,y,z)，由ED?(?a,,0),EB?(0,?,a)，

22ruuur?r?n?ED?0?y?2，?n?(1,2,1) ??ruuu??r'??n?EB?0?z?1urrrurm?n6?cos?n,m??u， rr?6m?n所以平面BEDF与平面ABCD所成的角arccos'6 6点评：（1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意

uuuruuurAB?CD两点，则l1,l2所成的角为arccosuuuruuur

AB?CD（2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线ABuuuruuurAB?BC与平面?所成的角为arccosuuuruuur。

AB?BCuruururuururuurn1?n2（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则?n1,n2??arccosuruur就

n1?n2是二面角的平面角或补角的大小。 例6：

（1）证明：建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=PD=1，AB=2a（a?0），

uuuv1111则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F(a,,).得EF?(0,,)，

2222uuuvuuuvPB?(2a,1,?1)，AB?(2a,0,0). uuuvuuuv11由EF?AB?(0,,)?(2a,0,0)?0，

22uuuvuuuv得EF?AB，即EF?AB，

同理EF?PB，又ABIPB?B， 所以，EF?平面PAB. （2）解：由AB?z P x C F E A y 2BC，得2a?2，

2即a?.

2得E(D B 2112,,)，C(2,0,0). ,0,0)，F(2222uuuvuuuvuuuv211,?1,0)，EF?(0,,). 有AC?(2,?1,0)，AE?(222 设平面AEF的法向量为n?(x,y,1)，