数列培优教程等差数列的基本量法与整体处理方法（有答案）

数列培优教程

01 等差数列的基本量法与整体处理方法(有答案)

一.等差数列的知识点及方法

1．等差数列{an}相关公式：

（1）通项公式：an?a1?(n?1)d，an?am?(n?m)d(n,m?N?)；

（2）若n?m?p?q，则an?am?ap?aq（其中m、n、p、q?N?）.反之未必成立； （3）公差d的计算方法：① d=an－an?1 ② d=

an?a1a?am ③ d=n

n?mn?12．在等差数列{an}中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即al，al?k，al?2k，…，al?(m-1)k，al?mk，…

是等差数列，公差为kd.

3．在等差数列{an}中，依次k个项之和仍组成一个等差数列.即Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，…，Slk?S(l?1)k，…（k?2，k?N?）成等差数列.

4．等差数列的判断方法：①定义法：an?1－an=d（d为常数），②an?pn?q(p,q为常数)?数列{an}是首项为p+q，公差为p的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An2+Bn（A，B为常数） 5.当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?12n?1??a1?a2n?1????2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

6. 设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

⑴当项数为偶数2n时，

S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1

2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

S奇nana??n S偶nan?1an?1⑵当项数为奇数2n?1时，则 ?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1???? ?S?S?aS?naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

7.思想方法：方程，基本量法，整体处理

二．基本量法及整体处理方法比较

例1（1）已知{an}是等差数列，且a1?a4?a8?a12?a15?2，求a3?a13的值. （2）已知在等差数列{an}中，若a49?80，a59?100，求a79.

三. 几种整体处理方法

1.首尾组队

例2.⑴已知项数有限的等差数列{an}中,前4项的和为15,最后4项的和为45,所有项的和为135,求这个数列的项数.

1

⑵已知项数有限的等差数列{an}中, 前n项的和分别为Sn, S4=30, Sn-4=180, Sn=270,,求这个数列的项数.

例3.⑴一个有2015项且各项非零的等差数列,求其奇数项的和与偶数项的和的比. ⑵一个有2n+1项且各项非零的等差数列,求其奇数项的和与偶数项的和的比.

Sn2n+3a13a13例4.两个等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别为Sn和Tn,已知 =,⑴求 .⑵

Tn5n-3b13b9

练习．若等差数列{an}的前m项、前n项的和分别为Sm和Sn，且Sm：Sn=m2：n2（m?n），求证an：

am?(2n?1)：(2m?1).

2.奇偶组整

例5.等差数列{an}中,公差d=2,前100项的和S100=20,求 ⑴a1+ a3+ a5+……+ a99的值. ⑵S200的值.

例6.等差数列{an}中,公差d= -2, a1+ a4+ a7+……+ a97=50,求a3+ a6+ a9+……+ a99的值.

3.分段组整

例7. ⑴已知{an}是等差数列，前m项和为Sm=30，前2m项和为S2m=100，求前3m项和S3m. ⑵已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10?100，S100?10，试求S110. ⑶已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp=q，Sq=p(p1q)，试求Sp+q. ⑷在等差数列{an}中, 已知ap=q，aq=p(p1q)，试求ap+q.

例8.已知数列{an}的前n项和Sn=12n-3n2,数列{|an|}的前n项和为Tn, ⑴求T10. ⑵求Tn.

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