第四章 整式的乘除
高频考点 1．幂的有关运算 2．整式的乘法 3．乘法公式(平方差公式、完全平方公式) 4．整式的除法 5．因式分解 6．整式的混合运算 知能图谱
同底数幂的乘法 字母表示：a?a?a幂的乘方 字母表示：ammnm?n考查频率 ★★ ★ ★★★ ★ ★★★ ★★ 所占分值 3～9分 (m，n都是正整数)
??n?amn(m，n都是正整数)
nn积的乘方 字母表示：?ab??ab(n是正整数)
幂的运算 同底数幂的除法 字母表示：a?a?a正整数，并且m?n)
零指数幂 字母表示：a0?1?a?0? 负整数指数幂 字母表示：a?p?mnm?nn(a?0，m，n都是
1(a?0，p为正整数) pa整式的乘除整式的乘法单项式乘单项式：单项式与单项式相系，把它们的系数、同底数幂别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为的一个因式
单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再 把所得的积相加
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
多项式乘 每—项，再把所得的积相加 多项式
乘法公式 完全平方公式 平方差公式：?a?b??a?b??a2?b2
?a?b??a?b?2?a2?2ab?b2 ?a2?2ab?b2 ?2联系?a?b??a?b单项式除以单项式 整式的混合运算 转化
多项式除以单项式
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?2??4ab
整式的除法
因式分解的意义
整式乘法
提公因式法????逆用平方差公式a?b??a?b??a?b?因式分解的方法?公式法?
逆用完全平方公式a?2ab?b??a?b?????分组分解法(拓展)
22222
因式分解
因式分解的步骤 一般步骤：一提、二套、三分组、四彻底
利用因式分解解决相关问题
第7讲 幂的运算性质
知识能力解读
知能解读 (一)同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a?a?a(m，n都是正整数)．
注意：(1)在学习同底数幂的乘法过程中，不仅要记住结论?更重要的是掌握结论的推导过程．
(2)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如a?a?a?an，p都是正整数)．
mnpm?n?pmnm?n(m，
?am?an(m，n都是正整数)．
21?23(4)幂的底数a可以是单项式，也可以是多项式，如a?a?a?a，325x?y?y?x?x?y??????．
(3)运算性质可以逆用，如a(5)当幂指数为l时，不要误以为指数为0，如a?a?a，而不是a?a?a． (二)幂的乘方
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即am3433m?n??n ?amn(m，n都是正整数)．
注意：(1)不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘
法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
(2)根据同底数幂的运算性质可推出结论：
?a?mn?a??a2?La?a1444?43n个ammmmmm?????1?442443mn个m?am
m35(3)此性质可以逆用：amn?am??n??an?，如315??35???33?．
(三)积的乘方
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
?ab?n?anbn(n是正整数)．
n注意：(1)同理，三个或三个以上的因数(或因式)的积的乘方，也具备这一性质，如
?abc??an?bncn(n为正整数)．
nnn22?9??9?2(2)此性质可以逆用：a?b??ab?，如???4???4??81．
?4??4?(3)积的乘方公式中，a，b可以表示数，也可以表示含有字母的代数式．
(四)同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a?a?a(a?0，m，n都是正整数，并月m?n)．
注意：(1)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如
mnm?nam?an?ap?am?n?p(a?0，m，n，p都是正整数，且m?n?p)．
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(2)底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了． (3)注意指数为“1”的情况，如a?a?am?n(4)该法则可以逆用，即a(五)零指数幂与负整数指数幂
(1)零指数幂的意义：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0?1?a?0?． 次幂的倒数，即a?n??a2，不能把a的指数当成“0”．
?am?an(a?0，m，n都是正整数，且m?n)．
33?1(2)负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的?n(n为正整数)次幂，等于这个数的n1(a?0 ，n为正整数)． namnm?n在a?a?a中，当m?n时，规定am?an?a0?1?a?0?．
当m?n时，规定am?an?a0??n?m??1an?m，如103?107?103?7?10?4?1． 104(3)零指数幂与负整数指数幂的注意事项：
①在a?1中，底数a不等于零，否则无意义．底数a 可以是不等于0的数或式子． ②学习零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到了整数指数幂． 如：a2?a?3?a2???3??a?1??4?21； ?ab??a?2b?2；?a?3??a12；a3?a?4?a3???4??a7等．a方法技巧归纳
方法技巧 (一)同底数幂的乘法、除法运算解题技巧
同底数幂的运算法则，无论是乘法法则，还是除法法则，只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化为同底，若不能化为同底，则不能用上述法则． (二)幂的乘方、积的乘方运算解题技巧
运用幂的乘方时，一定要注意底数的符号；在进行积的乘方运算时，应把底数的各因式分别乘方，不要忽略任何一项．幂的乘方和积的乘方法则均可逆用． (三)零指数幂和负整数指数幂的解题技巧
(四)利用幂的运算性质比较数的大小的解题技巧(拓展)
当所给幂的指数、底数均不相同，且指数较大时，可利用幂的乘方性质化为同指数幂，根据底数大小关系确定原来三个幂的大小关系．
比较几个幂的大小时，可以将它们逆用幂的乘方法则，化成同底数或同指数的幂再比较大小．
易混易错辨析
易混易错知识
1．同底数幂的乘法法则与合并同类项法则容易混淆．
?a；而合并同类项的法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，如a?a?a?a则是只把系数相加，字母和字母的指数都不变，如a3?a3?a3??1?1?1?a3?3a3．此处?a的错误．故解题时，应认真审题，看清题目是什么运算，然易犯a?a?a?a后准确选用法则．
2．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则容易混淆． 幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)，同底数幂的乘法运算是转化为指数
的加法运算(底数不变)．在运算时，特别注意二者的区别，如x2方，再乘法，不要出现类似x23333?3?393333?3?39??3?x4的运算顺序为先乘
??3?x2?3?x5的错误．
易混易错 (一)在运用积的乘方法则时，没有把每个因式分别乘方，忽略某些因式的乘方，或符号山错
(二)对同底数幂的除法法则理解不透导致出错
(三)忽略零指数幂和负整数指数幂底数不为0的条件
中考试题研究
中考命题规律
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本讲的考点主要有同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方运算以及零指数幂和负整数指数幂的运算，题型以选择题、填空题为主，也有简单的解答题． 中考试题 (一)同底数幂的乘法 (二)幂的乘方和积的乘方 (三)零指数幂和负整数指数幂 (四)幂的综合运算
第8讲 整式的乘法 知识能力解读
知能解读 (一)单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
如：5xy32??3xyz????5???3????x?x???y?y?z2322??15x4y3z2．
注意：(1)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用．
(2)由法则可知，在用法则解题时，可按三步进行：①系数相乘——确定积的系数，相乘时注意符号；②相同字母的幂相乘——底数不变，指数相加；③只在一个单项式里含有的字母——连同字母的指数写在积中，不要漏掉这个因式．
记忆口诀：系数乘系数，字母乘字母． (二)单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m?a?b?c??ma?mb?mc．
注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．
(2)单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．
(3)计算时注意符号，多项式中的每一项都包括它前面的符号，根据这一特点确定乘积中每一项的符号．
(4)运算结果中有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果． (三)多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn即．
(1)要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不要漏乘项．
(2)注意多项式中的符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算时要细心． (四)乘法公式
1．平方差公式
(1)公式：?a?b??a?b??a2?b2． (2)意义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫作平方差公式．
记忆口诀：和乘差，平方差． (3)特征：
①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数； ②右边是左边二项式中两项的平方差(相同项的平方减相反项的平方)； ③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式．
(4)公式的几何背景：如图所示，最上层的矩形ABCD的面积为?a?b??a?b?，它等于大正方形AGHE的面积a与小正方形MNHF的面积b的差，即?a?b??a?b??a2?b2．
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2．完全平方公式
(1)公式：?a?b??a?2ab?b；?a?b??a?2ab?b．
222222(2)意义：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍． (3)特征：
①左边是—个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简记为“首平方a平方b． ??，积的2倍??2ab?在中央”
2??，尾
2②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
(4)公式的几何背景：如图所示，用图形面积表示图①的几何意义为
?a?b??a2?ab?ab?b2?a2?2ab?b2，表示图②的几何意义为
2?a?b??a2?b?a?b??ab?a2?ab?b2?ab?a2?2ab?b2．
2(五)特殊乘法公式(拓展)
?x?a??x?b??x2??a?b?x?ab(a，b是常数)．(利用多项式乘法运算法则可从
左边得到右边)
公式特征：
(1)相乘的两个因式都只含有一个相同的字母．都是一次二项式，并且一次项的系数为1．
(2)乘积是二次三项式，二次项系数是1，一次项系数是两常数项之和，常数项等于两个因式中的常数项之积．
方法技巧归纳
方法技巧 (一)单项式与单项式相乘的解题方法
单项式与单项式相乘的顺序是：(1)系数相乘；(2)同底数的幂相乘；(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起写在积中．故正确进行幂的运算是解题的关键；要先确定符号，再计算．
(二)单项式与多项式相乘的解题方法
单项式与多项式相乘，实质是利用乘法的分配律，计算时注意运算顺序，不要漏项． (三)多项式与多项式相乘的解题方法
多项式乘多项式，其主要方法是分项轮乘，依次转化为单项式乘单项式，不要漏乘项．
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