(四)整式乘法的综合创新题
整式乘法的综合创新题主要考查整式乘法法则的运用能力，一般是由特殊情况推测一般规律，培养创新能力．
(五)利用乘法公式计算的解题技巧
乘法公式是一种特殊形式的乘法法则，它通过多项式的乘法法则，把特殊多项式的运算结果写成公式形式并加以应用．运用公式计算可使多项式相乘变得方便简捷，但运用时要掌握公式的结构特征，只要符合公式结构特征就可以运用公式进行计算，否则不能用．公式中的字母可以是具体数，也可以是含有字母的代数式．
1．直接应用公式计算 2．开放探究题 3．乘法公式巧变形 (六)整式的混合运算
整式的混合运算一般应注意以下几点：(1)将多项式的运算转化为单项式的运算；(2)确定符号；(3)确定运算顺序与运算类型；(4)尽量运用乘法公式简化多项式的乘法运算．
1．混合运算 2．化简求值
易混易错辨析
易混易错知识
1．在整式乘法法则的运用上易出错．
错误有：(1)漏乘多项式的某些项；(2)单项式与多项式相乘时，易出现符号错误(多项式中每一项都包括它前面的符号，还要注意单项式的符号)．
2．对平方差公式理解不透导致出错．
(1)分不清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，导致误用．
(2)对不具备平方差公式特征的运算误用了平方差公式．如出现?2x?y??x?y??4x2?y2之类的错误，实际上本题应该用多项式与多项式相乘的法则计
?2x?2xy?xy?y?2x?3xy?y． 算：
3．混淆完全平方公式与平方差公式． 运用完全平方公式时常出现的错误有：
(1)与平方差公式混淆，误写成?a?b??a?b；
2222222(2)弄错中间项“积的2倍”的符号．
易混易错 (一)单项式乘多项式时易漏乘或弄错符号 (二)错用乘法公式
(三)运用乘法公式时易弄错符号
中考试题研究
中考命题规律
本讲的考点主要是整式的乘法，它是初中数学的重点内容，是有理数乘法和幂的运算法则的综合，是代数式变形、化简、求值、因式分解等的重要基础，题型以填空题、选择题、计算题为主，有的为化简求值题，多与其他知识(分式、根式、方程(组)、不等式(组)等)综合命题，有时也会联系几何知识综合命题，一般为容易题和中等难度题． 中考试题 (一)考查运算法则和完全平方公式的运用 (二)考查运算法则与平方差公式的运用 (三)整式乘法的综合应用 (四)利用整式乘法化简求值
第9讲 整式的除法 知识能力解读
知能解读 (一)单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
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注意：对法则的理解应注意三点：(1)两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可．(2)只在被除式里含有的字母不要漏掉．如
1?1?a3b4c2?ab3??1???a3?a??b4?b3?c2．(3)在单项式除以单项式中只研究整除的情
2?2?况，因此，在除式中所出现的一切字母，在被除式中不仅也要出现，而且其指数要分别都不
小于除式中同一字母的指数．在这个前提下，单项式相除，可以按系数、相同字母、被除式单独有的字母这几部分进行． (二)多项式除以单项式法则
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
如：?am?bm?cm?dm??m?am?m?bm?m?cm?m?dm?m?a?b?c?d． 注意：(1)这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的．例如：m??am?bm?cm??m?am?m?bm?m?cm．
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号． (3)计算时不要漏项．
方法技巧归纳
方法技巧 (一)单项式除以单项式的解题技巧
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，其运算顺序为：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号．
(二)多项式除以单项式的解题技巧
多项式除以单项式，除掌握法则外，还应注意：(1)多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致，在计算时不要漏项；(2)计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，注意符号的变化．
易混易错辨析
易混易错知识
1．单项式除以单项式时，容易出现的错误．
(1)忽略系数的符号；(2)当某一字母指数为1时容易忽略该指数． 2．多项式除以单项式时，容易出现的错误． (1)漏项；(2)符号错误．
易混易错 (一)审题、计算不认真致错 (二)除式的系数忘记变成其倒数 (三)由于对法则理解不透或粗心致错
中考试题研究
中考命题规律
本讲的考点主要是整式的除法，它是数学中的重要基础知识．单独考查时，以填空题、选择题为主，也常与其他知识综合考查，题型以解答题为主． 中考试题 整式的综合运算
第10讲 因式分解 知识能力解读
知能解读 (一)因式分解的意义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，即多项式 化为 几个整式的积．
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程．要求把每个因式都分解到不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，怎样才算不能再分解呢?这要看题目的要求，若指出在有理数范围内因式分解，则x?4?x?24?2??x2?2?就符合要求，若指出
在实数范围内因式分解，则x4?4?x2?2?x2?2?x2?27 / 10
???????x?2??x?2?才符合
要求．
注意：(1)因式分解时应注意以下几点：
①结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；
②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于或等于原多项式的次数； ③分解因式必须分解到不能再分解为止．
(2)因式分解与整式乘法是两种不同的变形过程，它们是互逆关系．
22垐因式分解垐如a?b噲垐垎垐 ?a?b??a?b? 整式乘法(二)公因式的定义
多项式的各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式．如ab?ac?ad中，各项都含有因式a，故a叫作这个多项式各项的公因式．公因式可以是一个数或一个字母，也可以是含有字母的代数式，如a?x?2??b?x?2?中，公因式是x?2．
公因式的构成如下：(1)系数——取各项系数的最大公约数；(2)字母——取各项都含有的字母；(3)次数——取相同字母的最低指数． (三)因式分解的方法
1．提公因式法
(1)定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．如ma?mb?mc?m?a?b?c?，这个变形就是用提公因式法分解因式．这里的m可以表示单项式，也可以表示多项式，m称为公因式．
(2)提公因式法的步骤： 第一步：确定公因式；
第二步：提出公因式并确定另一个因式，提出公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式，
注意：提公因式法是因式分解的最基本的方法，因式分解必须首先考虑多项式各项之间是否存在公因式，因此关键是确定公因式，为了准确迅速地找出公因式，必须做到“五看”．
(1)看系数
公因式的系数是各项系数的最大公约数． (2)看字母
公因式中的字母应是各项中的相同字母． (3)看字母的指数
公因式中字母的指数是各项中相同字母的最低指数． (4)看整体
有时在多项式中，如果各项都含有相同的“多项式”，就应把它作为一个“整体”提出来．
尤其要注意，有时多项式的符号相反时，变号后再提出． (5)看首项符号
如果多项式首项系数为负，应提出“－”，或用加法交换律使首项的符号为正． 2．公式法
如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法．
(1)逆用平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?；
(2)逆用完全平方公式：a?2ab?b??a?b?．
222注意：(1)公式中的字母a，b可代表一个单项式或一个多项式． (2)逆用平方差公式分解因式的特点
①左边是二项式，两项都是平方的形式且符号相反； ②右边是两个数的和与这两个数的差的积． (3)逆用完全平方公式分解因式的特点 ①左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或式子)的平方，且这两项的符号都为正，
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中间一项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号正负均可．
②右边是两个数(或式子)的和(或差)的平方，当左边中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当左边中间的乘积项与首未两项的符号相反时，是差的平方．
(4)选用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式，应考虑逆用平方差或立方和(差)公式；若多项式是三项式，可考虑逆用完全平方公式．然后观察各项系数、次数是否符合公式特征运用公式的关键是将多项式改写成符合公式的形式．
3．分组分解法(拓展)
分组分解法是把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化．
注意：当多项式的项比较多时，可将多项式进行合理分组．分组方法不一定唯一． 4．x2??a?b?x?ab型式子的因式分解(拓展)
利用x2??a?b?x?ab??x?a??x?b?把二次三项式分解因式，也叫“十字相乘法”． 注意：(1)十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数．
(2)不是所有的二次三项式都能用“十字相乘法”分解因式． (四)因式分解的—般步骤及注意问题
因式分解的步骤概括为“一提”“二套”“三分组”“四彻底”．一提：若多项式各项有公因式时，应先提公因式．二套：多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑能否逆用平方差公式或立方和(差)公式，如果是三项式就考虑能否逆用完全平方公式或二次三项式的因式分解．三分组：若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法．四彻底：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．因式分解的结果，必须是几个整式的积．例如
a?1121??a?1?，虽然这里的右边是乘积的形式，但不是整式，所以不是因式分解． aaa方法技巧归纳 方法技巧 (一)因式分解与整式乘法的识别
判断一个变形是不是因式分解，主要看这个变形是否符合因式分解的意义，故只有当左边是“和、差”的形式，而右边是积的形式的时候才可以判断自左向右的变形可能是因式分解．当然，变形前后，等号两边的式子必须都是整式且相等． (二)提公因式法分解因式的规律
提公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，其实质是逆用了分配律．运用这个方法，关键是确定公因式，然后提公因式并确定另一个因式． (三)公式法分解因式的规律
运用公式法的关键是熟悉各公式的形式的特点． (四)因式分解中的特殊方法
因式分解除了提公因式法和公式法之外，分组分解法、十字相乘法等尽管不作要求，但应用很方便．
1．分组分解法
2．x2??p?q??x?pq型式子的因式分解(十字相乘法) (五)利用因式分解化简求值
易混易错辨析
易混易错知识
1．因式分解与整式乘法的联系与区别， (1)因式分解和整式乘法是互逆变形，多项式的因式分解是把和差的形式化为积的形式，而整式乘法是把积的形式化为和差的形式，都是恒等变形，但它们是互逆的两个过程，如x2?1??x?1??x?1?是因式分解，而反过来，?x?1??x?1??x2?1是整式乘法． (2)鉴于因式分解与整式乘法是互逆变形，因此可用将因式分解的结果还原成一个多项式的方法检验因式分解是否正确，同时，这也是一种逆向思维的训练．若混淆了因式分解与整式乘法，易犯“循环分解”的错误，例如分解因式a?a，误写成原式
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3?a?a2?1??a?a?1??a?1??a?a2?1?．
2．因式分解不彻底．
因式分解的最终结果必须分解到每个因式不能再分解为止． 易混易错 (一)因式分解结果不彻底 (二)错在漏项
(三)因式分解走回头路 (四)运用公式出错
中考试题研究
中考命题规律
本讲的考点主要是因式分解，它是一种重要的恒等变形，是进一步学习分式运算、解方程、函数变形及其他数学知识的重要基础，它与代数式的化简求值、整式的乘法及今后学习的分式、一元二次方程等许多内容密切相关，故中考试题都以直接或间接的方式进行考查，常以填空题、选择题的形式出现，综合题以解答题为主． 中考试题 (一)公因式的确定 (二)分解因式
(三)利用因式分解求值 (四)因式分解的综合创新 (五)实际问题中的因式分解
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