应用数学习题集
第三章积分及其应用
一.选择题
1．若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
[F(x)G(x)]dx是( C )。
A、零；
B、常数；
C、一次函数；
D、不一定。
2．已知在(a,b)内，f'(x)
g'(x)，那么( A )不一定成立。
A、f(x)g(x)；B、df(x)dg(x)；
C、f(x)
g(x)
C；D、d
f'(x)dx
dg'(x)dx。
3．已知在(a,b)内
f'(x)dx
g'(x)dx，那么( A )不一定成立。
A、f(x)g(x)；B、df(x)dg(x)；
C、f'(x)
g'(x)；
D、d
f'(x)dx
dg'(x)dx。
4．x的原函数是（
D ）。
A 1；
B x2
；
C 12
x2
；
D
12
x
2
C。
5．Sinx的原函数是（
D
）。
A cosx；B –cosx；C cosx+C；D –cosx+C。
6．
(lnx)'dx=（
B ）。
A lnx；
B lnx+C；
C lnxdx；D
1x
。
7．
(tanx)'dx=（
B ）。A tanx；
B tanx+C
；
C tanxdx
；
D sec
2
x。
8．设F(x)是f(x)在某区间内的一个原函数，
C是任意常数，则（
C ）也是A F(Cx)；B F(C
x)；C F(x)C；D CF(x)。
9．若F'(x)
f(x)，则（
B ）成立。(02-03
电大试题)
A.F'(x)dxf(x)C；B.f(x)dxF(x)C；
C.
F(x)dxf(x)C；
D.
f'(x)dx
F(x)C。
10．
x
21x
2
dx=（
B ）。
f(x)的原函数。
A x+arctanx+CC 2x+arctanx+C11．若
A 12．若
A C
；；
B x-arctanx+CD x·arctanx+C
2
；。
f(x)dx14
babaaa
sin
x2
B
C，则f'(x)14sin
x2
；
（C
B ）。
sin
x2
；
12
cos
x2
；D
12
cos
x2
。
f(x)dx存在，则下列关系中错误的是（
a
b
C ）。
b
f(x)dx=-
b
f(x)dx；
B D
aa
f(x)dx=
a
f(u)du；
f(x)dx=0；
A ）。
a
f(x)dx=0。
13．以下结论错误的是（
a
cbb
A 若
b
a
f(x)dx
a
0，则f(x)必是奇函数；f(x)dx
x
B
a
f(t)dt
c
f(t)dt
a
a
f(t)dt；
a
C 14．设
a
f(x)dxf(x)dx
x
b
0；
D 若f(x)是[-a,a]上的偶函数，则
(
x
a
f(x)dx2
0
f(x)dx。
ee，则xf(x)dx
B、D、e
D )。
A、eC、e15．设
(1(x
x)1)
C；C；F(x)
e(x
x
1)1)
C；C。
x
(x
f(x)dx
x
C，则e
x
f(e)dxC；
x
( C )。
F(e)
x
A、F(e)C；
n
B、F(e)
x
C、C；D、F(e)
x
C。
16．积分和式
i1
f(i)xi决定于（
C ）所给的条件：
A、f(x)和[a,b]；C、f(x)、[a,b]、
i取法与
ba
B、
i
取法与
xi分法；
xi分法。
的取法为（D、A ）。
2
2
xi分法；f(x)dxb；
D、f(x)和
17．设f(x)在[a,b]上连续，则
A、a
f()(b
C、
a)中，a；
B ）：（积分中值定理）
b；B、ab。
18．下列积分中不可直接使用
1
Newton-Leibniz
1
公式的是（
1
A
1x
1
dx；
B
0
10dx；
2x
C
dx(x3)
1
；D C ）。D
0
1
(3x1)dx。
19．下列积分中不可直接使用
1
Newton-Leibniz
2
公式的是（
0
A
dxx2
1
；B
1x
2
1
dx；
C
tanxdx；(sinxcosx)dx。
0
/
20．
x
f(t)dt=（
D）：
A、0； B
1
、f(0)B ）。
f(x)； C、f(x)；
D、
f(x)。
21．
1
|x|dx=（
A 2；
2
B 1；
（
C 0；C ）。C 4；
D –2。
22．
0
|sinx|dx
A 0；
0
B 2；D –4。
23．若
A.1
edx
ax
12
，则a=（C ）。(02-03C.2
电大试题) D.-1。
D ）。
B.
12
24．由曲线y
b
f(x)和直线x=a，x=b及y=0所围成的平面图形的面积为（
b
A
a
f(x)dx；
B
a
f(x)dx；C |
ba
f(x)dx|；
b
D
a
|f(x)|dx。
二.填空题：
1．函数f(x)的一个原函数
F(x)的图象叫做函数f(x)的一条积分曲线。
f(x)的图象是一条
直线。
2．F(x)是f(x)的一个原函数，若3．不定积分4．不定积分5．因为d(C)
F(x)的图象是一条抛物线，那么
f(x)dx。g(x)。
f(x)dx中，被积表达式是g(x)dx中，被积函数是0，所以
0dx= C。
F(x)F(x)
x，则G(x)=xG(x)= C 。
3
3
6．设F(x)、G(x)都是f(x)在区间(a,b)内的原函数，若7．设F(x)、G(x)都是f(x)在区间(a,b)内的原函数，则8．用分部积分法求
C。
lnxdx时，若设ulnx，则公式中v= x 。
arctanx，则公式中v=
12x。
2
9．用分部积分法求
xarctanxdx时，若设u
1
10．
e
2dx=x
x
x
1
ex
C。
x
11．
xed(x)=e(x1)C。
12．
xdx1x
2
=
12
ln(1x)
2
C。
13．
f'(tanx)cosx
2
dx=f(tanx)C。
14．曲线ysinx在[0,]上和x轴围成图形的面积用定积分可表示为cosx在[
,]上和x轴围成图形的面积用定积分可表示为
0
sinxdx。
22
15．曲线ycosxdx。
2
16．若
m
dx2，则m= 4 。
m1
17．若m>0，且
1x
dx
1，则m=e。
18．
1
1
x
4
dx=
13
。
19．
dx
0
1
x
x
2
=
2
。
20．
0
edx= 1 。f(x)
x0
2
21．若
sintdt，则f'(x)=2xsinx。
2
三、解答题：
1．求不定积分
1e
2xx
1e
2xx
dx。
x
x
解：
1e1
e
dx
(1e)(1e)1e
x
dx(1e)dx
x
xe
x
C。
2．求不定积分
1lnx
xlnx
2
lnx
2
dx。
解：
1lnx
xa
dx(1lnxlnx)d(lnx)
2
lnx
12
lnx
2
13
lnx
3
C。
3．求不定积分
mxn
dx。
a
mxn
解：
a
mxn
dxe
1m
sinx
a
mxn
d(mxn)
mlna
C。
4．求不定积分解：
cosxdx。
e
sinx
e
sinx
cosxdxd(sinx)e
sinx
C。
5．求不定积分x2ex
dx。
解：
x2
ex
dx
x2d(ex
)(x2e
x
2xex
dx)x2
ex
2xd(ex
)x2
e
x
2(xe
x
ex
dx)
x2e
x
2xe
x
2ex
d(x)ex
(x2
2x2)C
6．求不定积分e
x
cosxdx。
解：
e
x
cosxdxex
d(sinx)e
x
sinx
e
x
sinxdx
e
xsinx
ex
d(cosx)
e
x
sinxe
x
cosxe
x
cosxdx
所以，
e
x
cosxdx
1x
2
e(sinxcosx)
C。
7．计算不定积分xsin(1x)dx。
解：
xsin(1x)dxxdcos(1x)xcos(1x)cos(1x)dxxcos(1
x)
cos(1
x)d(1x)
xcos(1
x)
sin(1
x)
C。
8．如果函数
f(x)的一个原函数是
sinxx
，试求
xf'(x)dx。
解：设函数f(x)的一个原函数是F(x)，则F(x)
sinxxcosx
sinx
x，f(x)
x2
xf'(x)dx
xf(x)f(x)dx
xf(x)F(x)C
1x
(xcosx
2sinx)
C。
sinx9．计算函数(x)
(1t2
cosx
)dt的导数。
解：
sinx2
0(x)2
cosx
(1t)dtcosx
(1t2
sinx)dt0
(1t)dt
cosx(1t2
)dt
sinx0
0
(1t2
)dt
所以，
'(x)(1cos2
x)sinx
(1sin2
x)cosxsin3
x
cos3
x。
1x2
10．求极限lim
x
0
x
2
0
arctantdt。
lim
1x2
0arctanx
2
解：x
0
x
2
0
arctantdt
0
型
lim
2x
x
0
2x
limx
0
arctanx
0。
11．计算定积分
0
|cosx|dx。
解：
2
0
|cosx|dx0
cosxdxcosxdx
2xdx
cosxdx
2
0
cos2
所以，
。
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