第三章 环与域

第三章 环与域

与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。

§1 加群、环的定义

一、加群

在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。

因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：

（1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即?a?G，有

0?a?a?0?a。

（2）加群G的元素a的逆元用?a表示，叫做a的负元。即有

?a?a?a?(?a)?0。

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利用负元可定义加群的减法运算：a?b?a?(?b)。 （3）?(?a)?a。 （4）a?c?b?c?b?a。

（5）?(a?b)??a?b,?(a?b)??a?b

?a?a???a(n个a相加）n为正整数?n?0（6）na??0，且有

?(?n)(?a)n为负整数?ma?na?(m?n)a,m(na)?(mn)a,n(a?b)?na?nb

请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群??a,b?S，有

a?b,?a?S??a,b?S，有a?b?S。

加群G的子群H的陪集表示为：a?H?H?a。 二、环的定义

设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若

1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。

3. ?a,b,c?R，有a(bc)?(ab)c，即乘法适合结合律。 4. ?a,b,c?R，有a(b?c)?ab?ac,b(?ca)?bac?a法适合左（右）分配律。

则称R关于“+”与“。”作成一个环。

由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。

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，即乘法对加

例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。

例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合Pn?n关于矩阵的加法和乘法作成环。

例3 2Z?{2k|k?Z}关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数环。

问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？ 答：否。因为关于加法不构成加群。

由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：

（7）a(b?c)?ab?ac,(b?c)a?ba?ca 证明：由两个分配律以及负元的定义，有

a(b?c)?ac?a[(b?c)?c]?a[(b?(?c))?c)]?a[(b?((?c)?c]?a(b?0)?ab

(b?c)a?ca?[(b?c)?c]a?[(b?(?c))?c)]a?[(b?((?c)?c]a?(b?0)a?ba

再由（4）得，a(b?c)?ab?ac,(b?c)a?ba?ca。

（8）a0?0a?0

证明：0a?(a?a)a?aa?aa?0,a0?a(a?a)?aa?aa?0 （9）(?a)b?a(?b)??ab 证明：因为

ab?(?a)b?(a?(?a))b?0b?0 ab?a(?b)?a(b?(?b))?a0?0

所以(?a)b?a(?b)??ab。

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（10）(?a)(?b)?ab

证明：(?a)(?b)??[a(?b)]??(?ab)?ab （11）a(b1?b2???bn)?ab1?ab2???abn (b1?b2???bn)a?b1a?b2a???bna 证明略

（12）(a1???am)(b1???bn)?a1b1???a1bn???ambn 即

(?ai)(?bj)???aibj。

i?1j?1i?1j?mnmn证明略

（13）(na)b?a(nb)?n(ab) 证明略

n???n（14）定义：a?aa?a（n是正整数），并称an为a的n次乘方（简

称n次方或n次幂）。

对任意正整数m,n有

aman?am?n,(am)n?amn

证明略

由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。

§2 交换律、单位元、零因子、整环

前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P上所有n阶方阵集合Pn?n关于矩阵

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