的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。
1、交换律
因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环R里对
?a,b?R，未必有ab?ba。如矩阵环Pn?n就不适合交换律，当然也有
适合交换律的环，如整数环。
若环R的乘法适合交换律（即?a,b?R，有ab?ba），则称环R为交换环。
当环R是交换环时，?a,b?R，?n?Z,n?0，有
(ab)n?anbn
例 若环R的每一个元素a都适合a2?a，则称R是布尔环。证明，布尔环是交换环。
证明：?a,b?R，有(a?b)2?a?b,(2a)2?2a，于是有
a2?ab?ba?b2?a?b,4a2?2a，即ab?ba?0,2a?0，即
ab??ba?b(?a),a??a，所以ab?ba，故布尔环R是交换环。
2、单位元
在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。事实上，有些环确实有单位元，如：整数环Z就有乘法单位元1；数域P上n阶
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方阵环Pn?n也有乘法单位元，即单位矩阵E。但并不是所有环都有单位元，如偶数环2Z就没有乘法单位元。
若环R存在元素e，使得?a?R，有ea?ae?a，则称e是R的单位元。此时环R也叫做有单位元环。
一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。因为，若e,e/都是环R的单位元，则e?ee/?e。
例1（P85）
在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。注意，这里的1不是普通的整数1.
在有单位元的环R里，和群一样，规定a0?1(?a?R)。 设R是有单位元1的环，a,b?R，若ab?ba?1，则称a(b)是可逆元，b(a)是a(b)的一个逆元。
在有单位元的环R里，未必每个元素都有逆元，如整数环Z是一个有单位元的环，但除了?1外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵环Pn?n中非可逆矩阵就没有逆元。
但是如果a?R有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若a有两个逆元b和b/，则b?b1?b(ab/)?(ba)b/?1b/?b/。
当a是可逆元时，其唯一的逆元记作a?1。并规定
a?n?(a?1)n （n是正整数）
这样规定以后，当a是可逆元时
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n?????aa?a?an??1?(a?1)?n??n是正整数 n?0n是负整数公式
aman?am?n,(am)n?amn
对任何整数m,n都成立。
3、零因子
前面在讨论环R的运算性质时，曾有结论0a?a0?0，即当环R中的两个元素a,b中有一个是零元时，ab?0。那么，反过来当ab?0时，是否也有a?0或b?0呢？结论是在一般的环里是不成立的。
例2（P86） 在模n剩余类集合Zn?{[0],[1],?,[n?1]}中，我们在第一章定义了加法和乘法：
[a]?[b]?[a?b],[a]?[b]?[ab](?[a],[b]?Zn)并在第
二章证明了Zn关于加法构成加群。又因为
([a]?[b])?[c]?[ab]?[c]?[(ab)c]?[a(bc)]
?[a]?[bc]?[a]?([b]?[c])[a]?([b]?[c])?[a]?[b?c]?[a(b?c)]?[ab?ac]?[ab]?[ac] ?[a]?[b]?[a]?[c]([b]?[c])?[a]?[b?c]?[a]?[(b?c)a]?[ba?ca]?[ba]?[ca] ?[b]?[a]?[c]?[a]所以Zn关于剩余类的加法和乘法构成一个环。这个环叫做模n剩余类环，它有单位元[1]。
当n(?1)不是素数时，n?ab(1?a,b?n)，则n?于是在Zn|a,n|b?，
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中[a]?[0],[b]?[0]，而[a]?[b]?[ab]?[0]，这里[0]是Zn的零元素。
定义 若环R中两个非零元a,b，使得ab?0，则称a是环R的左零因子，b是环R的右零因子。
注：左，右零因子统称零因子。若R是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。
另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环Z就没有零因子。 显然，?a,b?R，由ab?0可推出a?0或b?0当且仅当环R没有零因子。
例3 设[a]?Zn，则[a]不是Zn零因子?(a,n)?1。
证明：（?）因为(a,n)?1，所以存在p,q?Z，使得pa?qn?1。
?[b]?Zn，若[a][b]?[0]，则由pab?qnb?b，有
[b]?[pab?qnb]?[p][a][b]?[q][n][b]?[p][0]?[q][0][b]?[0]，所以[a]不是Zn零因子。
（?）若(a,n)?d?1，则?Z且0?ndn?n??n，所以??是Zn中非零d?d?n??n??a??a??a?元，但[a]??a?n?[n]?[0]?[0]与[a]不是Zn零因子矛??????????ddddd??????????盾，所以d?1，即(a,n)?1。
例4（P88）
定理 若环R没有零因子，则
a?0,ab?ac?b?c（左消去律） a?0,ba?ca?b?c（右消去律）
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