1． 在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？
(第1题) (第2题)
2． 如图，在平行四边形ABCD中，已知M和N分别是AB和DC上的中点，试证明四边形BNDM也是平行四边形．
由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”
取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线．观察这样得到的图形是什么图形．
如图20．1．6，你还可以作一个两条对角线互相平分的四边形．
和你的同伴交流一下，看看是否是平行四边形．根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．
已知： 如图20．1．7，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO＝CO， BO＝DO． 求证： 四边形ABCD是平行四边形．
分析 要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用定 义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明． 图20.1.7
于是我们又得到平行四边形的一种判定方法： 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
思 考
我们已经知道，通过四边形的边或者对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．
图20.1.6
已知： 如图20．1．8，四边形ABCD中，已知∠A＝∠C， ∠B＝∠D．
求证： 四边形ABCD是平行四边形．
证明 在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°（四边形的内角和等于360°）， 图20.1.8 又∵∠A＝∠C， ∠B＝∠D，
∴ ∠A＋∠B＝∠A＋∠D＝180°，
∴ AD∥BC， AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 于是我们又得到平行四边形的一种判定方法： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例2如图20．1．9，在ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证： 四边形BFDE是平行四边形．
分析 连结BD，交AC于点O，由于OB＝OD，因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 图20.1.9 来证明四边形BFDE是平行四边形最为恰当，根据
题意只需证明OE＝OF．
证明 连结BD，交AC于点O． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB＝OD， OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）． ∵ AE＝FC， ∴ OE＝OF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
思 考
现在我们总共学会了多少种判定平行四边形的方法（包括定义）了？这些判定方法与平行四边形的性质之间，又有什么样的关系呢？ 练习
1． 如图，在平行四边形ABCD中，已知两条对角线相交于点O， E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．
2． 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．
(第1题) (第2题)
例3如图20．1．10，ABCD中，AF＝CH， DE＝BG，求证： EG和HF互相平分．
分析 因为EG和HF是四边形EFGH的对角线，所以要证明EG和HF互相平分，可以转化成证 明四边形EFGH是平行四边形．
证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC， ∠A＝∠C（平行四边形的对边相
图20.1.10 等，对角相等）． ∵ DE＝BG，
而AE＝AD－ED， CG＝CB－GB， ∴ AE＝CG． ∵ AF＝CH，
∴ △AEF≌△CGH（S．A．S.）， ∴ EF＝GH． 同理FG＝HE，
∴ 四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∴ EG和HF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）． 例4已知： 如图 20．1．11，线段BC和线段BC外一点A．
求作： 以A为一顶点，以线段BC为一边的平行四边形．
分析 如果连结AB，那么平行四边形的两边 已经确定，根据平行四边形的对边相等就可以确定另一个顶点． 图20.1.11 作法1． 连结AB；
2． 分别以A、C为圆心，以BC、AB为半径作弧，两弧相交于点D； 3． 连结AD、CD．
那么四边形ABCD就是所求的平行四边形．
如果连结AC，同理可作四边形AEBC，它也是所求的平行四边形，也就是说此题有两解． 练习
1． 延长△ABC的中线AD至E，使得DE＝AD，那么四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？
(第1题)
2． 作ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm． 习题20．1
1． 用两个全等的三角形，按照不同的方法拼成四边形,可以拼成几个不同的四边形?它们都是平行四边形吗？为什么？
2． 四边形ABCD中，∠A和∠B互补，∠A＝∠C，求证四边形ABCD是平行四边形．
3． 如图，A、B、E在一直线上，AB＝DC， ∠C＝∠CBE，试证明AD=BC.
4． 尽可能多地用各种不同的方法画出平行四边形．
(第3题) 20.2 矩形的判定
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： 1． 两条对角线相等且互相平分； 2． 四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
思 考
矩形的性质“两条对角线相等且互相平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”是矩形所特有的性质． 由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形．” 取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线．我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若两条绳子相等，重复上面的做法，得到的图形是什么图形呢？
如图20．2．1，你还可以作一个两条对角线相等的平行四边形．
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