[对应学生用书P4]
[读教材·填要点]
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 Δ＝b2－4ac y＝ax2 ＋bx＋c (a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 [小问题·大思维]
1．“若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是空集，则a、b、c满足的关系是b2－4ac<0且a>0”是否正确？
提示：当Δ＝0时，易知ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集也是?，从而满足的条件应为“a>0且b2－4ac≤0”．
2．当a<0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|α 提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合． [对应学生用书P5] x1，x2 bx0＝－ 2ab???x| x≠－? 2a??? Δ>0 Δ＝0 Δ<0 没有实数根 {x|x>x2或x 可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 x－2[例1] 不等式2<0的解集为( ) x－1A．{x|1 b [思路点拨] 根据不等式性质把<0转化为ab<0，再求解． ax－2 [精解详析] 因为不等式2<0， x－1等价于(x＋1)(x－1)(x－2)<0， 所以该不等式的解集是{x|x<－1或1 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即 ?g?x?≥0?f?x?·f?x? ?≥0??f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0. g?x???g?x?≠0 ???f?x?＞0?f?x?＜0f?x? ＞0??或??f(x)·g(x)＞0. g?x??g?x?＞0?g?x?＜0?? x＋1 1．解不等式：≤2. x－2 x＋1x＋1－x＋5解：∵≤2，∴－2≤0.即≤0. x－2x－2x－2 ???x－5??x－2?≥0，x－5∴≥0.∴?∴x<2或x≥5. x－2?x－2≠0，? 即原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}. [例2] 解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨] 由于a∈R，故分a＝0，a>0，a<0讨论． [精解详析] 若a＝0，原不等式可化为－x＋1<0， 即x>1. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 含参数的一元二次不等式的解法 1 x－?(x－1)>0， 若a<0，原不等式可化为??a?1 即x<或x>1. a 1 x－?(x－1)<0 若a>0，原不等式可化为??a?1 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 a(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈?； 1 (2)当a>1时，由(*)式可得 a1 (3)当0 a 1?? x<或x>1?； 综上所述：当a<0时，解集为?x???a?当a＝0时，解集为{x|x>1}； ??1? ??1 (*) 当a＝1时，解集为?； ?1? ? ? 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论． x2?k＋1?x－k 2．若k∈R，求解关于x的不等式：<. 2－x2－x x2－?k＋1?x＋kx2?k＋1?x－k 解：不等式<可化为<0，即(x－2)(x－1)(x－k)>0. 2－x2－x2－x当k<1时，x∈(k,1)∪(2，＋∞)； 当k＝1时，x∈(2，＋∞)； 当1 [例3] 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 一元二次不等式的实际应用 税R元(叫做税率R%)，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？ [思路点拨] 由题意求出在此项经营中所收附加税金，建立不等关系转化为不等式问题求解． [精解详析] 设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元， 从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R， 由题意得70(100－10R)R%≥112， 整理，得R2－10R＋16≤0. ∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8. 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}． 答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元． 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式． 3．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x(x>0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a元(a>0为常数)． (1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围； (2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 解：(1)根据题意，得 (100－x)·3 000·(1＋2x%)≥100×3 000， 即x2－50x≤0，解得0≤x≤50. 又x>0，故x的取值范围是(0,50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y元，则 ?100－x?×3 000×?1＋2x%?＋3 000axy＝ 100－60x2＋3 000?a＋1?x＋300 000＝ 100 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
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