抛物柱面：??2?2????=0 旋转抛物面：z=x2+y2 椭圆锥面：
??2??
2+
??2??
2?
??2??2
=0
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第五章、多元函数微分学
★★5-1、多元函数偏导数与全微分
1、含有两个及以上自变量的函数，如??=??(??,??) 2、偏导数的求法
对??求偏导，将函数中的??视为常数；对??求偏导，将函数中的??视为常数； 3、二阶偏导数
??2??????2
、????????、????2 ????????
??2????2??
4、全微分dz=????+
????????
????
★5-2、二元函数的极值 1、无条件极值
二元函数的无条件极值的求法
（1）求????(??,??)，????(??,??)，并解方程组????(??,??)=0，????(??,??)=0，求得一切驻点(????,????)。 （2）对于每一个驻点(????,????)，求出二阶导数的值A=??????(????,????)，B=??????(????,????)和C=??????(????,????)。 （3）定出??2?????的符号，判定点(????,????)是否是极值点，当??2?????<0是极值点；然后根据A的符号判定是极大值点还是极小值点，并求出极值??(????,????)。??<0极大值；??>0极小值。
2、条件极值
求二元函数??(??,??)在条件??(??,??)=0下的极值的方法与步骤： 方法一：化条件极值为无条件极值
（1）从条件??=0中，求出y的显函数形式??=??(??)
（2）将??=??(??)代入二元函数??(??,??)中，化为一元函数??[??,??(??)]的无条件极值。 （3）求出一元函数??[??,??(??)]的极值即为所求极值。 方法二：拉格朗日乘数法
（1）构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=??(??,??)+λ??(??,??) （2）由函数F(x,y,λ)的一阶偏导数组成方程组
F??(x,y,λ)=????(??,??)+λ????(??,??)=0 F??(x,y,λ)=????(??,??)+λ????(??,??)=0
Fλ(x,y,λ)=??(??,??)=0
（3）解方程组，得驻点(????,????,λ),则点(????,????)就是??(??,??)在条件??(??,??)=0下的可能的极值点。
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第六章、无穷级数
6-1、数项级数概念与性质
1、数项级数：给定一个无穷数列??1，??2…????…，则称形式和∑∞??=1????=??1+??2+?+????+? 为无穷级数或数项级数，简称级数。
∞2、如果??????????存在，称级数∑∞??=?????? 收敛 ； 如果??????????不存在，称级数∑??=?????? 发散。
??→∞
??→∞
3、两个常用级数
（1）调和级数：∑∞??=1（发散）
??
???1（2）等比级数：∑∞为等比数列（|??|<1时，级数收敛；|??|≥1时，级数发散） ??=1????
1
4、级数的运算性质
∞（1）级数∑∞??=1???? 与∑??=1?????? 具有相同的敛散性
∞∞（2）若∑∞??=1???? 与∑??=1???? 皆收敛，则∑??=1(????±????) 也收敛。
（3）在级数∑∞??=1???? 的前面去掉、加上或改变其有限项，不改变级数的敛散性。 ★5、级数收敛的必要条件：若∑∞??=1???? 收敛，必有lim????=0
??→∞
6-2、正项级数
∞1、若∑∞??=1???? 中每项????≥0，则称∑??=1????为正项级数。
2、p级数：形如∑∞??=1????(??>0)的级数（01时，级数收敛） 3、比较判别法
∞对于正项级数∑∞??=1???? 与∑??=1???? ，当????≤????时，则
∞∞∞（1）当∑∞??=1???? 收敛时，∑??=1???? 必收敛； （2）当∑??=1???? 发散时，∑??=1???? 必发散
1
比较判别法的极限形式：lim
????
??→∞????
∞
=λ(0<λ<∞)，那么∑∞??=1???? 与∑??=1???? 具有相同的敛散性。
适用场合：若∑∞??=1???? 的一般项????是n的多项式的商、根式、三角函数、反三角函数等时，常用比较判别法讨论敛散性。 4、比值判别法
对于正项级数∑∞??=1???? ，若??????
????+1
??→∞????
=??，则
（1）当??<1时，∑∞（2）当??>1时，∑∞??=1???? 收敛；??=1???? 发散； （3）当??=1时，∑∞??=1???? 可能收敛可能发散
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????
适用场合：若∑∞??=1???? 的一般项????呈现分式形式，且分子或分母中含n!、??、??等因子时，常用
比值判别法讨论敛散性。 6-3、任意项级数
1、任意项级数：若∑∞??=1???? 中各项????可正、可负或零，称之为任意项级数
???1??2、交错级数：形如∑∞???? 或∑∞??=1(?1)??=1(?1)???? 的级数
3、绝对收敛和条件收敛
∞∞对于任意项级数∑∞??=1???? ，如果∑??=1|????|收敛，则称∑??=1????绝对收敛； ∞∞如果∑∞??=1|????|发散，而原级数∑??=1????收敛，则称∑??=1????条件收敛。
4、莱布尼茨判别法：
???1若交错级数∑∞????（????>0）满足：????≥????+1 且 lim????=0 ??=1(?1)
x→∞
???1则∑∞????收敛，且和????≤??1。 ??=1(?1)∞5、如果∑∞??=1|????|收敛，那么∑??=1????必收敛。
★6、判定任意级数∑∞??=?????? 是绝对收敛，还是条件收敛，还是发散步骤： （1）如果lim????易求，首先看lim????是否等于0；若lim????≠0，则级数必发散
x→∞
x→∞
x→∞
∞（2）判定∑∞??=1|????|是否收敛，若收敛，级数∑??=1????绝对收敛
∞∞（3）若∑∞??=1|????|发散，判定∑??=1????是否发散，若收敛，级数∑??=1????条件收敛。 ∞（4）若∑∞??=1????既不绝对收敛，也不条件收敛，则∑??=1????发散
6-4、幂级数
∞????1、幂级数：形如∑∞??=0?????? 或（∑??=0????(?????0)）的级数，称之为??或?????0的幂级数。
★2、收敛半径的求法
??对幂级数∑∞??=0??????，设lim|
x→∞
????+1????
|=??，则有
（1）若??≠0，则R=?? 其收敛区间（???,+??） （2）若??=0，则R=+∞； （3）若??=+∞，则R=0 ★3、收敛区间的求法
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1
????+1????
1
??
（1）对标准型幂级数∑∞??=0??????，首先求lim|
x→∞
|=??，则有则R=?? ,其收敛区间（???,+??）
??（2）对一般型幂级数∑∞??=0????(?????0)，首先按(1)中求R，则收敛区间（??0???,??0+??） ∞2??2??+1（3）对标准型幂级数∑∞等缺项级数，取其绝对值级数用比值判别法确定??=0??????或∑??=0??????
收敛区间；或做变换化为标准型幂级数进行讨论。 6-5、将初等函数展开为幂级数 ★1、常用的幂级数展开式 （1）
1
??
1???
=∑∞??=0??
（2）
1
=∑∞??=0(?1)??????1+??
（3）e??=∑∞??=0????
??! （4）sin??=∑∞??=0(?1)
??
??2??+1
(2??+1)! （5）cos??=∑∞??=0(?1)
????2??
(2??)!
（6）???? (1+??)=∑∞??=1(?1)
???1??????
（7）????(1???)=?∑∞??=1??????
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