第七章、常微分方程
7-1、一阶微分方程 1、相关概念
（1）微分方程：凡表示函数y及其导数y′，y′′，…y(??)和自变量??之间的关系的方程。 ★（2）微分方程的阶：微分方程中函数导数的最高阶数称为该方程的阶。
（3）微分方程的通解：如果微分方程的解中所含互相独立任意常数的个数与方程的阶数相同，则该解称为微分方程的通解。
（4）特解：如果限定通解中任意常数为某一组固定常数得到的解称为该方程的特解。 （5）可分离变量的微分方程：形如2、一阶线性微分方程
（1）形如??′+??(??)??=??(??)的微分方程称为一阶线性微分方程，所谓线性是指函数y及其y′都是一次方。
★（2）一阶线性齐次微分方程的通解公式：y=C???∫??(??)????
★（3）一阶线性非齐次微分方程的通解公式：y=[∫??(??)??∫??(??)????????+C] ???∫??(??)???? ★★3、一阶微分方程的解法：（不同类型）
（1）可分离变量的微分方程：分离变量?两边积分?得通解 （2）一阶线性齐次微分方程解法 方法一：化为可分离变量的方程求解 方法二：公式法 y=C???∫??(??)???? （3）一阶线性非齐次微分方程解法
方法一：常数变易法，先求齐次方程的通解，将齐次通解中的“C”变易为待定函数??(??)构造非齐次方程的解y=??(??)???∫??(??)????；代入原非齐次方程求出??(??)，进而得到非齐次方程解。 方法二：公式法 y=[∫??(??)??∫??(??)????????+C] ???∫??(??)????
方法三：积分因子法，将方程两边同乘以??∫??(??)????，将方程左边化为某函数的导数或微分---两边积分求解。
7-2、二阶常系数线性微分方程 1、概念
（1）形如y′′+????′+????=??(??)的微分方程称为常系数二阶线性微分方程。 ★★2、二阶常系数线性微分方程??′′+????′+????=??通解求法
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????????
=??(??)??(??)的微分方程称为可分离变量的微分方程
先求与其对应的特征方程??2+????+??=0
①若特征方程有两个不等实根??1，??2，则通解为???=??1????1??+??2????2?? ②若特征方程有一重根??，则通解为???=(??1??+??2)??????
③若特征方程无实根或有一对共轭复根??1=??+????，??2=???????，则通解为???=??????(??1cos????+??2sin????)
★★3、二阶常系数线性微分方程??′′+????′+????=??(??)通解求法 ①先求与其对应的齐次方程y′′+????′+????=0通解??? ②再求出非齐次方程的特解???，则方程的通解为y=???+??? ③特解???的求法
1）若??(??)=????(??)??????，则方程的特解设为???=????????(??) ?????? 其中：（????(??)与????(??)是同次多项式
若??不是特征根，k=0； 若??是单独特征根，k=1； 若??是二重特征根，k=2； 2）若??(??)=??????(??cos????+??sin????) ，则方程的特解设为???=??????????(??1cos????+??1sin????) 其中：??1，??1为待定系数，且
若??+????不是特征根，k=0 ；??+????是特征根，k=1 将???，???′，???′′代入原方程解得???即可。
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