数学试卷
解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。 B
2019?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
D（图1）OCBOCBGAAAAO2?； AD3AO2?，试判断O是AD3S四边形BCHGSAGHOHCD（图2）D（图3）
A． 2：5
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：
S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．
B． 2：3
C． 3：5
D． 3：2
数学试卷
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3． 故选B．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质， 熟知相似三角形边长的
比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
（2019?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
考点：相似形综合题．
分析：（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出
其值；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；
（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出
数学试卷
其值．
解答：解： （1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=
．
∴S△ABC=
=；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=
x，
∴y=∵a=
=x，
2
＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
，
∴x=1.5时，y最大=
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=
（3﹣x），
∴y==﹣
；
，
数学试卷
（3），如图4，∵y=﹣∴y=﹣y=﹣∵a=﹣
（x﹣4x）﹣（x﹣2）+
22
；
， ，
＜0，开口向下，
，
∴x=2时，y最大=∵
＞
，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×1=π．
2
（2019?雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
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