|22?222?42|?5，
圆心C到直线l距离是
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是52?12?26
11. 如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC?23，若
?CAP?30?，则⊙O的直径AB? ．
【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，PC?23，?CAP?30?， 根据切线定理可知, PC2?PB?PA?PB?(PB?BA),可以解得为4. （二）必做题
12. 下面是关于复数z?2?1?i的四个命题：
（1）z?2； （2）z2?2i； （3）z的共轭复数为1?i； （4）z的虚部为?1； 其中所有正确的命题序号是 . 【答案】（2）（4）
113.如果一个随机变量?~B(15,)，则使得P(??k)取得最大值的k的值为 . 2115kk【解析】P(??k)?C15()，则只需C15最大即可，此时k?8,9
214. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 . 【解析】该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，可将其补形成一个长方体，
半径为2，体积为
43?R?3823?.
（也可直接找到球心，求出半径解决问题）
15. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，??，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间
[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 .
【解析】：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l?30，第k组的号码为(k?1)30?9，令451?(k?1)30?9?750，而k?z，解得16?k?25，则满足16?k?25的整数k有10个.
ai?2012或2013，16. 已知Sn?{AA?(a1,a2,a3,?,an)，对于U,V?Sn，i?1,2,?n}(n?2)，d(U,V)表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令U?(2013,2013,2013,2013,2013)，存在m个V?S5，使得d(U,V)?2，则m= ； （Ⅱ）令U?(a1,a2,a3,?,an)，若V?Sn，则所有d(U,V)之和为 ．
5
【解析】：（Ⅰ）C52?10；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知使d(u,vk)?r的vk共有Cnr个
2n12n∴?d(u,vk)=0?Cn0?1?Cn?2?Cn???n?Cn
k?12n?d(u,vk?1k)=n?Cn?(n?1)?Cnnnn?1?(n?2)?Cnn?2???0?Cn
02两式相加得
?d(u,vkk?1=n?2)n?1
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（满分12分）已知?，?是三次函数f(x）?13x?312ax2?2bx(a,b?R)的两个极值点，且
???0,1?,???1,2?,求动点?a,b?所在的区域面积S.
【解析】由函数f(x）?13x?312ax2?2bx(a,b?R)可得，
2f?(x)?x?ax?2b, ??????2分
由题意知，?，?是方程x2?ax?2b?0的两个根， ??5分
?f?(0)?2b?0?且???0,1?,???1,2?,因此得到可行?f?(1)?1?a?2b?0,????9分
?f?(2)?4?2a?2b?0??b?0?即?a?2b?1?0, ?a?b?2?0?画出可行域如图. ???11分 所以S?12. ???12分
18、(满分12分）为迎接新年到来，某商场举办有奖竞猜活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的。正确回答问题A可获
得奖金m元，正确回答问题B可获得奖金n元。活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止。假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获救金额的期望值较大.
6
【解析】设该参与者猜对问题A的概率为P1，则p1? 参与者回答问题有两种顺序： 顺序一：先A后B
14，猜对问题B的概率为P2?15，.......1分
此时参与者获得奖金额?的可能值为：0,m,m?n， P(??0)?1?P1? 从而数学期望E??顺序二：先B后A
此时参与者获得奖金额?的可能值为：0,n,n?m， P(??0)?1?P2? 从而数学期望E??而：E??E?? 当
mn?344m?3n2045n534m4，P(??m)?P1(1?P2)??n2014?45?15，P(??m?n)?P1P2?120，
；................................5分
，P(??n)?P2(1?P1)??m2015?34?320，P(??n?m)?P1P2?120，
；...........................9分
，则：
mn?34时：先回答A，当两者兼可，
mn?34时先回答B......................12分
19、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． （1）线段BC上存在点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值。 解法1：（Ⅰ）如图，连AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，
A 必有AQ?DQ． Q 设BQ?t，则CQ?a?t， 在Rt?ABQ中，有AQ?在Rt?CDQ中，有在即
Rt?ADQ2P B D C t?4．
2DQ?2?a?t?22?42． ．
P 中，有
2AQ?DQ?AD2t?4??a?t??4?a4t，即t?at?4?0．
2a?t??4∴．
N A M D C Q B 故a的取值范围为
?4,???．
7
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t?2，a?4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点）， 使PQ⊥QD，过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． 过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．
∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角． 在等腰直角三角形PAD中，可求得MN?NQ?6z P 2，又MQ?2，进而
． MNNQ?26?33．
A Q D ．
x C cos?MNQ?B y ∴
故二面角A－PD－Q的余弦值为
?????????????AD、AB、AP33解法2：（Ⅰ）以为x．y．z轴建立如图的空间直角坐标系，则
B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0）， P（0，0，4）， 设Q（t，2，0）（t?0），则 PQ＝（t，2，－4），
DQ＝（t－a，2，0）．
?????????PQ?DQ?t(t?a)?4∵PQ⊥QD，∴
2＝0．
即t?at?4?0．
a?t?4t?4∴．
故a的取值范围为
?4,???．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t?2，a?4时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD． 此时Q（2，2，0），D（4，0，0）． 设
n??x,y,z?是平面PQD的法向量，
??????n?DP?0??4x?4z?0??????n?DQ?0?2x?2y?0??由，得?．
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