n??1,1,1?取z?1，则是平面PQD的一个法向量．
????AB??0,2,0?而是平面PAD的一个法向量，
????????AD?n3cos?AD,n???????3AD?n．
33∴二面角A－PD－Q的余弦值为．
20、（满分13分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停
车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）
（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图所示，设?PAB??(rad)，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
3米 F
C O
3米 D B
P
∴tan∠
1.8米 θ E A 解：(1)在△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=20°, BEBAE=，又AB=10， AB∴BE=AB?tan∠BAE=10tan20°≈3.6m，∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m, 在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD=∠BAE=20°, ∴cos∠ECD=,∴CD=CE?cos∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m． CE故答案为2.8m．????5分 （2）延长CD与直角走廊的边相交于E,F，如下图.
EF?OE?OF?3?3CDcos?sin?2DA1.8?容易得到DE?，CF?BC?tan??1.8tan?.又AB?DC?EF?(DE?CF)， tan?tan?，其中0????.
9
于是f(?)?其中0???3cos??2?3sin??1.8(tan??1tan?)?3(sin??cos?)?1.8sin?cos?，
.???8分
2sin(??设sin??cos??t，则t?又sin?cos??t?122?4)，于是1?t?2.
，
． ????11分 ??6(t?0.6)?3.84(t?1)222因此f(?)?g(t)?26t?3.6t?1222因为g?(t)??6t?7.2t?6(t?1)t?12，又1?t?2，所以g?(t)?0恒成立，
因此函数g(t)?6t?3.6在t?(1,2]是减函数，所以g(t)min?g(2)?62?3.6?4.5，
故能顺利通过此直角拐弯车道 ????13分 21、（满分13分）
已知椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3?22，3?22.
（1）如果直线x?t(t?R)与椭圆相交于不同的两点A,B，若C(?3,0),D(3,0)，直线CA与直线BD的交点是K，求点K的轨迹方程；
??????????（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与该椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若RM??MQ，????????RN??NQ，试判断：???是否为定值？并说明理由.
??a?3?a?c?3?22???解：（1）由已知? b2?a2?c2?1 ???c?22?a?c?3?22所以椭圆方程为
x29?y?1. ?????????3分
t22依题意可设A(t,y0),B(t,?y0),K(x,y)，且有又CA:y?y?29?y0?1
2y0t?32(x?3),DB:y??y0t?3(x?3),
2?y022t?9(x?9)，将
t29?y0?1代入即得y?x2219(x?9),22x29?y?1
2所以直线CA与直线BD的交点K的轨迹方程是（2）???是定值，?????99?y?1（y≠0）????????8分
，理由如下： ????????9分 4依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y?k(x?1)，
?y?k(x?1),?设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，则M、N两点坐标满足方程组?x2 2?y?1.??9消去y并整理，得(1?9k)x?18kx?9k?9?0，
10
2222所以x3?x4?18k221?9k， ① x3x4?9k?91?9k22， ② ????????11分
因为RM??MQ，所以(x3,y3)?(0,y5)???(1,0)?(x3,y3)?， 即??x3??(1?x3),所以x3??(1?x3)，又l与x轴不垂直，所以x3?1，
y?y???y.53?3x31?x3所以??，同理??x3?x4x41?x4?. ??????????12分
.
所以????(x3?x4)?2x3x41?(x3?x4)?x3x41?x31?x4将①②代入上式可得?????94. ??????????13分
122、（满分13分）设函数fn(x)?xn(1?x)2在[,1]上的最大值为an(n?1,2,?).
2 （1）求数列?an?的通项公式；
（2）证明：对任何正整数n(n?2)，都有an?1(n?2)2成立；
716、 （3）若数列?an?的前n之和为Sn，证明：对任意正整数n都有Sn?成立.
n?12nn?1【解析】（1）由fn?(x)?nx(1?x)?2x(1?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]
1n 当x?[,1]时，由f?(x)?0得x?1或x?
2n?2n1111 当n?1时，??[,1]，f1?(1)?0，则 a1?f1()?
n?23228n111 当n?2时， ?[,1]，则a2?f2()?n?22216n1 当n?3时，?[,1]，
n?221nn 而当x?[,)时fn?(x)?0，当x?(,1)时fn?(x)?0，
2n?2n?2n 故函数fn(x)在x?处取得最大值，
n?2 即：an?fn(nn?2)?4nnn?2(n?2)
?1?8(n?1)? 综上：an??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 n4n?(n?2)n?2??(n?2) （2）当n?2时，要证an?
4nnn?2(n?2)?1(n?2)11
2，即证(1?2n)?4，
n 而(1?2122n(n?1)4n012)?Cn?Cn?()?Cn?()???1?2??2?4 nnn2n2 故不等式成立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 （3）当n?1,2时结论成立；
当n?3时，由（2）的证明可知： Sn? ?1818?116116716?a3?a4???an?1415151618?116?152?162???181(n?2)?116?2
716??(?)?(?)???(1n?1?1n?2)?14?，
从而Sn?
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
12
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