2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国Ⅰ)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

课标全国Ⅰ理科数学

注意事项:

1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足=i,则|z|=( )

1??? A.1 B.√2 C.√3 答案:A 解析:∵A.-

2

√31+??

D.2

1+??i?1

=i,∴z=1???i+1=

(i?1)(?i+1)

=i,∴|z|=1.

(i+1)(?i+1)2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=

B.

√3( )

D.

1

2

答案:D

解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°

=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°

1

=sin(10°+20°)=sin 30°=.

22

C.- 1

2

3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:?n∈N,n2>2n,则??p为( ) A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 答案:C

解析:∵p:?n∈N,n2>2n,

∴??p:?n∈N,n2≤2n.故选C.

4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案:A

解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.

23

故P=C30.62(1-0.6)+C30.63=0.648.

??

??? ???????? 5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若?????????1·????2<0,则y0

2

的取值范围是( ) A.(?

√3√3233

2√22√2C.(?,)

33

,) B.(?

√3√366

2√32√3D.(?,)

33

,)

答案:A

解析:由条件知F1(-√3,0),F2(√3,0),

??? ???????? ∴?????????1=(-√3-x0,-y0),????2=(√3-x0,-y0),

22??? ???????? ∴?????????1·????2=??0+??0-3<0.

又∵6.

??2022222

???0=1,∴??0=2??0+2.代入①得??0<, √3①

1

3∴-3

√3

1

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(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案:B

解析:设底面圆半径为R,米堆高为h.

∵米堆底部弧长为8尺,

∴1164

·2πR=8,∴R=.

∴体积V=11

π

1

162

4×3·πR2h=12×π×(π)×5.

∵π≈3,∴V≈

320

9

(尺3). ∴堆放的米约为320

9×1.62≈22(斛).

7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D为△ABC所在平面内一点,????????? =3????? ????,则( A.????? ????=-143

????? ????+????????? B.????? ????=14 )

3

????? ?????????????? C.????? ????4????? 3

=????+14答案:A

3

3

????????? D.????? ????

=????? 3?13????3

????????? 解析:如图:

∵????? ????=????? ????+?????

????? ?????

=3????????? , ∴????? ????=????? ????+4,????????????? =????? ????+4(????????? ?????? ????)=-1????? ????+4?????????

. 8.(2015课标全国Ⅰ3,理8)

333函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为(

) A.(??π?1,??π+34),k∈Z B.(2??π?14,2??π+3),k∈Z C.(???14,??+344

),k∈Z D.(2???14,2??+344),k∈Z 答案:D

解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2×(5?1)=2,

所以2π4

4

??

=2,解得ω=π. 所以f(x)=cos(πx+φ).

由图像可知,当x=1(1+5)=324

4

4

时,f(x)取得最小值,

即f(3)=cos(

3π

44+??)=-1,

解得3π

4+φ=2kπ+π(k∈Z),

解得φ=2kπ+π

4(k∈Z).

令k=0,得φ=π,所以f(x)=cos(π??+π

).令2kπ≤πx+π

44

4≤2kπ+π(k∈Z),

解得2k-14≤x≤2k+3

4

(k∈Z).

所以函数f(x)=cos(π??+π

4

)的单调递减区间为[2??

?1,2??+344

](k∈Z).结合选项知应选D.

9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )

2

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A.5 答案:C

B.6 C.7

D.8

解析:∵S=1,n=0,m=,t=0.01,

121??1

∴S=S-m=2,m=2=4,n=n+1=1,S>0.01,

11

∴S=4,m=8,n=2,S>0.01,

11

∴S=8,m=16,n=3,S>0.01,

11

∴S=16,m=32,n=4,S>0.01,

11

∴S=32,m=64,n=5,S>0.01,

11

∴S=64,m=128,n=6,S>0.01,

11

∴S=128,m=256,n=7,S<0.01,

∴n=7.

10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 答案:C

??2

解析:由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为Tr+1=C5(x+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即

22??23-ii??6-i

T3=C5(x+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为Si+1=C3(x)·x=C3x(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,

122352552

则(x+x)的展开式中x项的系数是C3=3,故(x+x+y)的展开式中,xy的系数是C5·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)

圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案:B

解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.

12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )

12

12

3