2020年九年级中考数学专项训练——二次函数(含答案)

二次函数

1．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．

①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

2． 设二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）． y=0；y=0；（1）甲求得当x=0时，当x=1时，乙求得当x?11y??．时，若

22甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2

1

的代数式表示）．

m）n）n是实数）（3）已知二次函数的图象经过（0，和（1，两点（m，，当0

（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）

（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；

（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

4． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y??点A，B（点A在点B的左侧）．

B的坐标，（1）求点A，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围． （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位， 将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m>0，n>0，求m，n的值．

12

x+2x+6的图象交x轴于2 2

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．

①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6． 某纪念品专卖店上周批发买进100件A纪念品和300件B纪念品，花

费9600元；本周批发买进200件A纪念品和100件B纪念品，花费6200元．

（1）求每件A纪念品和B纪念品的批发价各为多少元？

（2）经市场调研，当A纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售

3

200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a为多少时，该纪态品专卖店销售A纪念品每周获得的利润W最大？并求出最大利润．

7． 某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25

时可近似用函数p?11t?刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p505??1（t–h）2+0.4刻画． 160

（1）求h的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

生长率p 提前上市的天数m

（天）

求：①m关于p的函数表达式； ②用含t的代数式表示m．

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25

0.2 0

0.25 5

0.3 10

0.35 15

4

元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）

8．Rt△ABC的边BC在x轴上，如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，0）以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，，交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

5

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线DE和抛物线的表达式；

（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2

，动点Q从点P

出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

10．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积

6

分为3：5两部分，求点P的坐标．

7

参考答案

1．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2， ∴点C的坐标为（0，﹣2）； 当y＝0时，﹣x﹣2＝0， 解得：x＝﹣4，

∴点A的坐标为（﹣4，0）．

将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2． （2）①∵PM⊥x轴， ∴∠PMC≠90°，

∴分两种情况考虑，如图1所示． （i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴， ∴点P的纵坐标为﹣2．

当y＝﹣2时， x2+x﹣2＝﹣2， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；

（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D． ∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°， ∴∠OAC＝∠OCD． 又∵∠AOC＝∠COD＝90°， ∴△AOC∽△COD，

8

∴＝，即＝，

∴OD＝1，

∴点D的坐标为（1，0）．

设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：

，

∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．

联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：

，

解得：，，

点P的坐标为（6，10）．

综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．

②当y＝0时， x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴点B的坐标为（2，0）．

∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称， ∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）． ∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2）， ∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）． 2． （1）乙求得的结果不正确，理由如下： 当x=0时，y=0；当x=1时，y=0； ∴二次函数经过点（0，0），（1，0），

9

∴x1=0，x2=1， ∴y═x（x﹣1）=x2﹣x， 当x?11时，y??，

42x1?x2， 2∴乙求得的结果不正确； （2）对称轴为x?x1?x2(x1?x2)2当x?时，函数的最小值是?；

24（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点， ∴m=x1x2，n=1﹣x1﹣x2+x1x2， ∴mn=[?(x1?)?∵0

顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a）， C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1， t＝2m﹣1， 故答案为：2m﹣1； （2）a＝﹣1时， C1：y＝﹣（x﹣1）2+4， ①当

t＜1时，

，

x＝时，有最小值y2＝

x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，

10

则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣②1≤t

时，

＝1，无解；

x＝1时，有最大值y1＝4，

x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝≠1（舍去）； ③当t

时，

x＝1时，有最大值y1＝4，

x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1， 解得：t＝0或2（舍去0）， 故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x； （3）m＝0，

C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，

点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），

当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，

当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝， 当C2过点D′时，同理可得：a＝1，

11

故：0＜a当a＜0时，

或a≥1；

当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣， 故：a≤﹣； 综上，故：0＜a

或a≥1或a≤﹣．

x+

，直线

利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣B′M的解析式为y＝

x﹣

，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．

分三种情况考虑，如图2所示：

当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝

x﹣2； x﹣2；

当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣m﹣2．

综上所述：直线l的解析式为y＝﹣﹣m﹣2．

x﹣2，y＝

x﹣2或y＝x

12

4． （1）令y=0，则?12x?2x?6?0， 2解得x1=﹣2，x2=6，

∴A（﹣2，0），B（6，0），

由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；

（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m）， 函数图象的对称轴为直线x??2?6?2， 2∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴

6?n???n?2?2，

∴n=1，

17?(?1)2?2???1??6?， 227∴m，n的值分别为，1．

2∴m??5．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：得：

，

，解

故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，

13

令y＝0，则x＝﹣1或﹣5， 即点C（﹣1，0）；

（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝x+1…②， 设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），

S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，∵

＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为

；

②设直线BP与CD交于点H，

14

当点P在直线BC下方时，

∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为（﹣，﹣）， 过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，

设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：

直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③， 同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④， 联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2）， 同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤， 联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4）， 故点P（﹣，﹣）；

当点P（P′）在直线BC上方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，

y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5， 则直线BP′的表达式为：

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即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥， 联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4）， 故点P（0，5）；

故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．

6． （1）设每件A纪念品的批发价为x元，B纪念品的批发价的为y元，

依题意

?100x?300y?9600， ?200x?100y?6200??x?18解得?，

y?26?即每件A纪念品的批发价为18元，B纪念品的批发价的为26元． （2）由（1）知每件A纪念品的批发价为18元，依题意得 W=（a-18+a-30）[200-10（a-30）]=（2a-48）（500-10a）=-20a2+1480a-24000

整理得W=-20（a-37）2+3380 ∵-20<0 ∴W有最大值，

即当a=27时，有最大值3380，

即当每件的销售价a为37元时，该纪态品专卖店销售A纪念品每周获得的利润W最大为3380元． 7． （1）把（25，0.3）代入p??得0.3??1（t–h）2+0.4，

1601（25–h）2+0.4， 160解得h=29或h=21，

16

∵25≤t≤37， ∴h=29．

（2）①由表格可知，m是p的一次函数， 设m=kp+b，

把（0.2，0），（0.3，10）代入得??0?0.2?k?b，

?10?0.3?k?b解得??k?100，

?b??2011t?， 505∴m=100p–20． ②当10≤t≤25时，p?∴m=100（

11t?）–20=2t–40； 5051（t–29）2+0.4，

当25≤t≤37时，p??1601（t–29）2+0.4]–205∴m=100[???（t–29）2+20， 160810?t?25?2t?40，?∴m??5. 2?(t?29)?20，25?t?37??8③当20≤t≤25时，增加的利润为：

600m+[100×30–200（30–m）]=800m–3000=1600t–35000， 当t=25时，增加的利润的最大值为1600×25–35000=5000（元）； 当25

2

600m+[100×30–400]=1000m–9000=–625+11000， （30–m）（t–29）

∴当t=29时，增加的利润的最大值为11000元．

综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．

17

8．解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解

得：

，

故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3， 则点A（1，4）；

（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6， 点P（1，4﹣t），则点D（

，4﹣t），设点Q（

，4﹣

），S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，

∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1； （3）设点P（1，m），点M（x，y）， ①当EC是菱形一条边时， 当点M在点P右方时，

点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C， 则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M， 则1+3＝x，m﹣3＝y，

而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2， 解得：y＝m﹣3＝，

故点M（4，

）；

当点M在点P左方时， 同理可得：点M（﹣2，3+）；

②当EC是菱形一对角线时， 则EC中点即为PM中点， 则x+1＝3，y+m＝3，

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而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2， 解得：m＝1，

故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2， 故点M（2，2）； 综上，点M（4，

）或（﹣2，3+

）或M（2，2）．

，解得：

9．解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：

，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2， 同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；

（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，

将点FB代入一次函数表达式，

同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1， 设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1）， S

四边形

OBPF＝S△OBF+S△PFB＝

×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+

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x+2+x﹣1）＝7， 解得：x＝2或， 故点P（2，3）或（，

）；

（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），

过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，

∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），

A′A″⊥DE，y＝﹣x+3…②， 则直线A′A″过点A′，则其表达式为：联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1）， 由中点坐标公式得：点A″（3，0），

同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③， 联立①③并解得：x＝，即点M（，）， 点M沿ED向下平移2

个单位得：N（，﹣）．

10．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，

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故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①， 函数的对称轴为：x＝1；

ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，（2）其中AC＝故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C′（2，3），则CD＝C′D， 取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，

CD+AE＝A′D+DC′，D、C′三点共线时，CD+AE＝A′故：则当A′、D+DC′最小，周长也最小，

DE＝1是常数， 、

四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝＝

+A′C′＝

+

；

+A′D+DC′

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，

又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）： AE×（yC﹣yP）＝BE： AE， 则BE：AE，＝3：5或5：3，

21

则AE＝或，

即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3， 解得：k＝﹣6或﹣2，

故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…② 联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）． 22