已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围

已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围

顺德容山中学 马崇元

已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围，是高考的一个亮点，在

近年的高考和各地的高三模拟试题中经常出现，下面谈谈此类问题的解法．

一． 利用函数的单调性

如果题中所给函数的单调性易判断出来，我们可利用单调性建立方程组或不等式，从而加以求解．

例1．（2008年天津卷10）设a?1，若对于任意的x?[a,2a]，都有y?[a,a2]满足方程logax?logay?3，这时a的取值集合为

（A）{a|1?a?2} （B）{a|a?2} （C）{a|2?a?3} （D）{2,3}

a3解：由logax?logay?3可得y?，利用其在x?[a,2a]上是单调减函数可得

xymina3a2a3??,ymax??a2，则由题目条件可得ymin?a,ymax?a2解得选B． 2a2a1． x 例2．（2008年深圳模拟试题）已知函数f(x)＝1?(1)是否存在实数a、b(a＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a、b]？若存在，请求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

(2)若存在实数a、b?a?b?，使得函数f(x)的定义域是[a、b]，值域是[ma、mb](m≠0)，求实数m的取值范围．

解：(1)不存在实数a、b?a?b? 满足条件．事实上，若存在实数a、b?a?b? 满

?11?,x?1??x足条件，则有x≥a＞0．故f(x)＝?

1??1,0?x?1??x

(i)当a、b∈(0，1)时，f(x)＝?1在(0，，1)上为减函数，所以?1x?f(a)?b,即

f(b)?a,??1?1?b,??a ?1??1?a.??b

由此推得a＝b，与已知矛盾，故此时不存在实数a、b(a＜b)满足条件． (ii)当a、b∈[1，＋∞)时，f(x)＝1?在[1，+∞)上为增函数，所以?1x?f(a)?a,?f(b)?b,?11??a,??a即?于是a、b为方程x2－x＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时?1?1?b.??b也不存在实数a、b(a＜b)满足条件

(iii)当a∈(0，1)，b∈[1，＋∞)时，显然1∈[a，b]，而f(1)＝0，所以0∈[a，b]，矛盾．

综上可知，不存在实数a、b(a＜b)满足条件．

(2)若存在实数a、b(a＜b)满足f(x)定义域是[a、b]，值域是[ma、mb](m≠0)，易得m＞0，a＞0．

仿(1)知，当a、b∈(0，1)或a∈(0，1)，b∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a、b不存在．

只有当a、b∈[1，＋∞)时，f(x)＝1?在[1，＋∞)上为增函数，有?1x?f(a)?ma,

f(b)?mb,??11??ma,??a即?于是a、b为方程mx2－x＋1＝0的两个大于1的实根． ?1?1?mb.??b?m?0,???1?4m?0,?1?∴?1?1?4m只须?1?4m?0,解得0＜m＜，所以m的取值范

4?1,??x?1?1?4m?2m,2m??围为

0＜m＜．

例3．（广东省2008届第一次六校（广州深圳中山珠海惠州）联考）设

14f(x)?ax2?bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数

f(x)的定义域和值域相同。

解：（1）若a?0，则对于每个正数b，f(x)?bx的定义域和值域都是[0,??) 故a?0满足条件； （2）若a?0，则对于正数b，f(x)?ax2?bx的定义域为

b??D?xax2?bx?0????,????0,???，

a????但f(x)的值域A??0,???，

故D?A，即a?0不合条件；

b（3）若a?0，则对正数b，f(x)?ax2?bx的定义域D?[0,?]

a由于此时(f(x))max?f(?bbb，故f(x)的值域为[0,)?]

2a2?a2?a?a?0???a??4 ?2?a??a则

bb??a2?a 综上所述：a的值为0或?4

二． 利用判别式

有些问题可以通过转化成二次函数的问题，借住于判别式加以解决．

ax2?bx?6例4．已知函数y?的最小值是2，最大值是6，求实数a,b的值． 2x?2ax2?bx?6解：由y?可得y(x2?2)?ax2?bx?6 2x?2即(a?y)x2?bx?6?2y?0．y的取值就是使得上述关于x的方程有解．利用判别式??b2?4(a?y)(6?2y)?0,以及2?y?6，解得

a?5,b??23．

例5．若函数y?lg(ax2?ax?1)的值域是实数集Ｒ，求实数a的取值范围．

分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为

能取遍所有正实数的问题．

解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域

是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ． 三． 利用函数的图像

如果题目中所给函数的图象易做出来，则可借助于函数的图象分析加以解决．

例6．（湖北省八校高2008届高三年级第二次联考数学（理）试题 ）设函数f?x??2x?x?R?，区间M??a,b??其中a?b?集合N??yy?f?x?,x?M?,x?1则使M?N成立的实数对?a,b?有（ ）个．

解：利用f(x)是奇函数，作出其图象，则可得：f(a)?a,f(b)?b.问题转化为求方程f(x)?x的解的个数问题。数形结合，可知应该选有3个．

例7．（2008年浙江卷15）已知t为常数，函数y?x2?2x?t在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___．

解：本小题主要考查二次函数的图像问题。对称轴为x?1,下方图像翻到x轴上方．由区间[0，3]上的最大值为2，知ym3)?3?t?2,ax?f(检验t?5时,

f(0)?5?2不符,而t?1时满足题意．

解得t?1或5,例8．（湖北省黄冈、襄樊、孝感、宜昌、荆州2008届高三联合考试数学试题）设函数y?2x?1的定义域与值域均为

（ ） A．1

B．2

C．3

?a,b?(b?a), 则a?b?D．4

解：做出函数y?2x?1的图象，由图象分析可知a?0，有条件可得当

x?a时，y?a；当x?b时，y?b.故a,b就是方程2x?1?x的两根，做出直线

y?x，观察可知a?0,b?1选A．

四． 利用导数的有关知识解决

有时题目所给函数的性质需要借助于导数的有关知识加以解决． 例9．（湖北省八校高2008届高三年级第一次联考数学（理）试题 ）若

函数f(x)=x3-x在(a,10-a2)上有最小值，则实数a的取值范围为 13 ．

解：由f'(x)?x2?1?0得x??1． 当x?(??,?1)时，f'(x)?0；当x?(?1,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0；则当x?1时，f(x)取得最小值．在由题意得a?1?10?a2，解得?3?a?1．

例10．（2008年高考最后一卷（广东模拟4））已知函数f(x)自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f(x)的保值区间．一般来说，函数的保值区间有(??,m],[m,n],[n,??)三种形式．（1）求函数f(x)?x2?x?1的保值区间．（2）若函数f(x)?x?ln(x?m)的保值区间是[0,??)，求m的取值范围．

解：（1）略解． f(x)的保值区间为[1,??)．

（2）因为函数f(x)?x?ln(x?m)的保值区间是[0,??)，所以m?0,

g'(x)?1?1?0,得x?1?m, 所以，g(x)在(1?m,??)上是增函数；同理，x?m可得g(x)在(?m,1?m)上是减函数． 若0?1?m，即m?1时，g(1?m)?0,得

m??1满足题意．若0?1?m，即m?1时，g(0)?0,得m?1矛盾． 所以满足

条件的m的值为?1．