2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程 （1）试求以 （2）若以
和和
为根的一元二次方程； 为根的一元二次方程仍为
。求所有这样的一元二次方程。
的二实根为和。
解 （1）由韦达定理知
所以，所求方程为
，
。 ，
。 。
（2）由已知条件可得 解之可得由②得
，
分别讨论
（p,q）=(0,0)，(1,0)，(?1,0)，(0,1)，(2,1)，(?2,1)或(0, ?1)。 于是，得以下七个方程
，
，
，
，
x2?2x?1?0，x2?1?0，，
其中x2?1?0无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★ 例4 已知a，b，c为实数，且满足条件： 证明 由已知得
，
。
，
，求证a=b。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为
①
由a，b为实数知此方程有实根。
∴c2?0，故c=0，从而
。
。这表明①有两个相等实根，即有a=b。
说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式得
，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
可
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。 ★★★例6 解方程 解：原方程可变形为 令
,
，
。 。
。则
。
由韦达定理逆定理知，以a，?b为根的一元二次方程是 解得
，。
。即a=?8或a=9。
或
，，
通过
（舍去）。
求解x结果相同，且严谨。
解之得
强化训练
。此种方法应检验：是或否成立
A 级
★★1.若k为正整数，且方程________________。
有两个不等的正整数根，则k的值为
★★2.若 ★★★3 .已知
和
，是方程
，则_______________。 _____________。
的二实根，则
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级
★★★★5.已知：和
。
为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且
求证：，是方程的实根。
的二实根和满足
，试求k的值。
★★★★6.已知关于x的方程参考答案 1．2
提示：原方程即由
，所以，由知k=1，2，3，5，11；
知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故k=2。
2．提示：由x，y为方程的二根，知，。于
。
3．21 提示：由
，
，
知，
4．设二个不等的正整数根为， 消去m，得 即
，
。
。则。故
，且
。 。
，由韦达定理，有
。
5．由韦达定理有
又 二式相减得 将
，代入有
，
。
。
。
。
从而 ，
同理
和是方程的根。
。从而
，
6．当???时，可知????1，所以14?k?3?12?k?2，当???时，易证得 为方程 于是 当
，时，方程为
。 。
，
的二不同实根。
。
，
解得 或
取，即能符合题意，故k的值为。
练习：1、设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A．2014
2（2012?德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是 ．
B．2015
C．2012
D．2013
3．已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为 ．
4．（2015?黄冈中学自主招生）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）
2
．则的值为 ．
5．（2013?自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）
6（2013?荆门）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则
7．（2012?成都模拟）若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α= ．
8．（2010?南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a= 8 ．
= ．
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