中级宏观经济学配套练习及答案

第二讲 配套习题及答案 1.若效用函数现为：

u(c,l)?c?l1?? （0???1）

其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。

计划者目标函数为： max{c?l1??}

c,l?(h?l)1?? s.t. c?y?zk0代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：

?[zk0(h?l)1??]?l1??? max?l一阶条件为：

????(1??)?(h?l)(1??)??1l1???z?k0(h?l)(1??)?(1??)l?? (FOCl) z?k0求解可得： l?? n??(1??)h 1???h?(1??) 1???代n?进生产函数可得：

??h?(1??)?? c??y??zk0?1???????1??

企业利润函数为：

??zk?n1???(1?r)k?wn

企业利润最大化的一阶条件为：

???z?k??1n1???(1?r)?0 ?k?? ?z(1??)k?n???w?0

?n利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：

??h?(1??)?w??zk0?1????????

1????1?h?(1??)? r??z?k0?1???????1

2.假设行为人的效用函数如下：U?ln(c)?ln(l)，其中c是行为人的消费，l是行为人每天用于闲暇的时间。行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。他为自己工作时的产出函数为y?4(ns)0.5，其中ns为用于自己工作的时间。如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w（当然是用消费品衡量的）。试写出该行为人的最优化问题，并求解之。 max{ln(c)?ln(l)

c,l,ns s.t. c?4(ns)0.5?(24?l?ns)w

代约束条件进目标函数，分别对l和ns两个变量求一阶导数，并令其为零，有：

(FOCl)

4(ns)0.5w1?

?(24?l?ns)wl2(ns)?0.5?w (FOCn) ?0 0.54(ns)?(24?l?ns)w求解上述联立方程，可得： ns??

4 w2

l??12? c??

2 w282?12w??4 0.5ww3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下：

u(c,l)??c?l

其中，c是消费，l是闲暇，且??0。消费者拥有一单位的时间禀赋和k0单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：

y?Ak?n1??

其中，y是产出，A是全要素生产率，k是资本投入，n是劳动投入，且0???1。记w为市场的实际工资，r为资本的租金率。 a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。

b.试分析全要素生产率A的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。 解：a.第一步，分析消费者行为： maxu(c,l)?max?c?l

c,lc,l s.t. c?w(1?l)?(1?r)k0

代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。 max?[w(1?l)?(1?r)k0]?l

l对l求一阶导数，并令其为零，可得：

w?

1?

3

第二步，分析企业的行为：

?1??nd?wnd?(1?r)kd?(1??)kd ??Akd???nd?w?0 FOCn (1??)Akd??11??FOCkd ?Akdnd?r???0

根据市场出清条件，可得如下方程组：

1????(1??)Akn?dd??????11????Akdnd?r?? ?k?k0?d??求解得：

1?????n??A(1??)k0 ?11???r???A???(1??)???????第三步，全部均衡解：

l?1?n?1??A(1??)k0??????1

?A??(1??)??k0

?11??y?c?Ak0?A(1??)k0w??1??????1????

或者，考虑计划经济情形：

maxu(c,l)?max?c?l

c,lc,l?(1?l)1?? s.t. c?Ak0 代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：

?(1?l)1????l? max???Ak0l 对l求一阶导数，并令其为零，可得：

?(1?l)???1 ?(1??)Ak0 4