??1 A ?k?n利用这两个一阶条件，我们能求得实现社会最优的稳定均衡解：
?A???? k???n?11??
（b）出生在t期的消费者将求解如下的最优化问题： max lnc)??lnc1t2t?1c,c,s1t2t?1t s.t. csw1t?t?t c ?s1?r)2t?1t(t?1代把约束条件进目标函数，消掉目标函数中的c1t和c2t?1，就可以得到一个仅含一个决策变量st的最优化问题。求解这个最优化问题，可以得到如下一个最优的储蓄函数： st??wt 1??企业只需要求解如下一个静态的最优化问题：
?1???? max AKwN?rKtNt?ttttK,Ltt最大化这个问题的一阶条件就是通常的边际条件：
??1 r ?kt?At? wA(1??)kt?t
资本市场的出清条件为： k(1?n)?t?1?A?(1??)kt 1??现在，在给定k0的情况下，上述方程决定了唯一的一个资本序列
?kt?t??1，这一序列将收敛于一个唯一的稳定状态k?，我们可以通过令
??kk?k?k而求解出的具体解： t?1t 37
k?????A(1??)?1?n)(1??)??(?11??
（c）年轻行为人的最优储蓄为：
????? s?(w?t) （7.44） tt??1?????利用方程（7.24）、(7.25)、(7.41)和（7.44），可以证明资本演进的均衡序列?kt?t?将由下式决定： ?0??1??(Akn)b???t???(1?n)?b?A(1?)k k （7.45） ??t?1t???1?1?n????????稳定状态下的人均资本，k?(b)，就是下列等式的解：
???1???????Ak(b)?nb???? (7.46) k(b)(1?n)?b?A(1?)k(b)?????1?1?n?????????????????11???A1???A??然后，根据（7.43）式，最优的人均债务数量为：
???????? b ?(1??)A?1?n)????(??1?????n??n????A?(1??)?????? (7.47) ?A?????n?n??1?1??我们可以注意到，给定A,n,?的值，当?足够大时，有
??0。 ??0，当?b足够小时，有b2.考虑一个引入现收现付养老保障制度的代际交叠模型。我们假定效用函数是对数型的，也即u(c1t,c2t?1)?lnc1t??lnc2t?1；也假定生产函数是柯布-道格拉斯型的，也即f(k)?k?。现在假如从t期开始，人口增长率有一个永久性地下降，也即社会遭遇了老龄化问题。在讲义中我们分析了年轻人向社会养老保障体系多做的贡献dt不变，因而老年人从社会养老保险制度中所获得收益bt减少的情形。现在，假设要减
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少老年人的收益受到了政治阻力，政府不得不通过提高年轻人的贡献
dt来维持老年人的收益bt不变。试分析在这种情形下，人口增长率的
下降对经济造成的影响。 3.请简单回答如下问题： a.什么是动态无效？
b.在一个动态无效的经济中，政府实施现收现付制和基金制会对经济产生怎样不同的影响？
c.请描述一个不可能出现动态无效的经济，简要解释你的理由。 a.如果一个经济能通过对资源进行重新的配置来提高社会中每个人的福利，那么，这个经济就是动态无效的。换句话说，在一个动态无效的经济中，它的资源配置并不是帕雷托最优的。在经济增长理论的背景中，一个动态无效的经济就是一个资本积累过渡了的经济。由于资本积累过多，导致了资本的边际产出、进而是实际利率偏低了。在这样的一个经济中，适当地减少储蓄因而减少资本存量会提高社会中每一个人的福利。
b.如果一个经济是动态无效的，实际上就意味着这个经济的资本存量相对于黄金资本存量（更准确说，是修正的黄金资本存量）而言太高了，因而，实际利率太低了。
在基金制社会保障体制中，只要政府要求的社会保障贡献率没有超过这一制度引入之前行为人的最优储蓄率，那么，基金制对资本积累的影响就是中性的。因为只要行为人投入基金帐户的资金的收益率与实际利率是相等的（这一点，我们总是假定成立的），那么，是进
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行私人的储蓄还是把资金投放进基金帐户，对行为人来说是无差异的，因此，当政府引进基金制社会保障制度以后，行为人无非就是把原先就要进行的私人储蓄转移一部分进基金帐户中。因此，社会的总储蓄不会因为这种保障制度的引进而发生变化。这样的话，如果这个经济原先是动态无效的，那么，引入基金制以后仍旧还将是动态无效的。
在现收现付制度下，因为政府从年轻人身上征收来的贡献并不是用于投资的，而是直接转移给当期的老年人的，社会资本积累的惟一来源是私人储蓄，因此，现收现付制度的引入，会减少私人的储蓄进而减少社会的资本积累。因此，如果一个经济是动态无效的，在引入现收现付制以后，将会使这个经济的资本存量在长期中更靠近黄金资本存量。
c.在新古典增长模型中，经济出现动态无效是不可能的。因为在新古典增长模型中，平增长路径上的资本存量只能低于黄金资本存量而不能高于它。
出现这一结果也不奇怪，因为第一福利定理告诉我们：假如市场是完全的、竞争的，并且没有外部性，那么，分散经济的最优解是帕雷托最优的。我们知道，在新古典增长模型中，第一福利定理的这些条件是满足的，因此，一定不会出现动态无效的情况。
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