解得：
l?1???A(1??)k0?
???1 n???A(1??)k0????1
1???l1b.???(1??)??A(1??)??k0?0 ?A?1???n1 ??(1??)??A(1??)??k0?0 ?A??y?c1 ??A?A?A??r ?A?A1??1?????(1??)??1??1??k0?0
???(1??)???0
?w?0 ?A说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。
4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表：
u(c,l)?lnc??lnl??lng
这里，c是消费；l是闲暇；g是政府购买；?,??0。消费者拥有一单位的时间禀赋。私人消费品的生产技术如下： y?zn
这里，y是产出，n是劳动投入，z?0。假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。
（1）对于一个给定的g，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这
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些均衡数量是帕累托最优的。
（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。
（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的g。也就是说，政府将选择一个合适的g去最大化代表性行为人的福利。试求解最优水平的政府购买数量。 解：
（1）在给定g,??0时，消费者的最优规划问题可以表述如下： max[lnc??lnl??lng]
c,l s.t. c?w(1?l)??
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题： max?ln[w(1?l)??]??lnl??lng?
l该最大化问题的一阶条件为：
?w???0
w(1?l)??l利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： l??? ????????1?? 1?????w??(w??)
w(1??)利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数： n?w???w??， c? w(1??)1?? 6
可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。也可以注意到，闲暇和消费都随w的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。 从企业的利润最大化问题中，我们能得到： w?z
竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡： g??
代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数量： l??(z?g)z??gz?g， n?， c? z(1??)z(1??)1?? 注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，利用或者商品市场出清条件，n?1?l。
c?g?y，或者生产函数，y?zn，并与上述均衡数量相结合，可以求
得均衡产量： y?z??g 1??g?0我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得帕累托给定时，
最优的均衡数量：
max[lnc??lnl??lng]
c,l s.t. c?g?z(1?l)
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题： max?ln[z(1?l)?g]??lnl??lng?
l 7
该最大化问题的一阶条件为：
?z???0
z(1?l)?gl利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： l??? ????g???1??
z??1?????(z?g) z(1??)利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可以进一步求得如下的均衡数量： n?z??gz??gz?g，y?， c? z(1??)1??1??因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡分配是帕累托最优的分配。在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税并不会产生扭曲效应。
（2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们之需要简单地让这些均衡解对g求全导数，就可以得到结论：
dn???0 dgz(1??)dy???0 dg1??dc1???0 dg1??可以注意到，平衡预算乘数是小于1的。因为，??1??，所以，
dy???1。（回忆：政府预算约束??g必须成立，因而，g的任何dg1?? 8
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