2.2 拓扑空间和连续映射

例2.2.9 设?1和?2分别是非空集X上的平庸拓扑和离散拓扑，?是X上的任意一个拓扑，则?1??

定理2.2.1 设?i

注 虽然?1和?2是集X上两个拓扑，但是?1??2却未必是X上的拓扑。

例如：X?{a,b,c}，?1?{X,?,{a}},是

??2.

(i?I)是集X上的一簇拓扑，则??i也是X上的拓扑。

i?I?2?{X,?,{b}}是X上两个拓扑，但

?1??2?{X,?,{a},{b}}

却不是X上的拓扑，因为{a}?{b}?{a,

定义2.2.6 设(X,?)是拓扑空间，A?X，则x?X称为A的一个聚点（accumulation point）或极限点（limit point）是指：对?B??且x?B，都有

b}??1??2.

(B?{x})?A??.

A的所有极限点组成的集合称为A的导集（derived set），记为A?.

例2.2.10 设X?{a,b,c,d,e}，??{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}是

X上的拓扑，A?{a,b,c}?X，则b是A的一个聚点，因为包含b的开集只有{b,c,d,e}和X，而

({b,c,d,e}?{b})?A?{c}??,(X?{b})?A?{a,c}??.

同理，d,e也是A的聚点。

但是a,c不是A的聚点，因为开集{a}包含a，但({a}?{a})?A??. 开集{c,

d}包含c，但({c,d}?{c})?A??. 故 A??{b,d,e}.

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例2.2.11 设(X,?)是平庸拓扑空间，即：??{X,?}，则

??,?A???X?{x},?X,?A??,A?{x},

A中至少有两个不同的点.

定义2.2.7 设(X,?)是拓扑空间，A?X. 若Ac??，则称A是X的闭集。设B?X，则称X中包含B的最小闭集为B的闭包，记作B.

即：B是一切包含B的闭集的交. ※

命题2.2.1 设(X,?)是拓扑空间，A?X，A是集A的闭包，则

(1) A是X中的闭集；

(2) 若B是X中包含A的一个闭集，则A?A?B； (3) A是闭集 ?A?A;

In fact, (1) 由闭包的定义，立知：A是X中的闭集。（X中包含B的最小闭集为B的闭包。）

(2) 若B是X中包含A的一个闭集，则由闭包的定义，立知：A?A?B.

(3) 由闭包的定义及(1)、(2)，立得：A是闭集 ?A?A. ※

例2.2.12 设X?{a,b,c,d,e}，??{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}是

X上的拓扑，则此拓扑空间的闭集是

?,X,{b,c,d,e},{a,b,e},{b,e},{a}.

注 X有些子集既是开集，也是闭集。例如：{a}, {b,c,d,e}.

X有些子集既不是开集，也不是闭集。例如：{a,b}.

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例2.2.13 设(X,?)是离散拓扑空间，??2X，则X所有子集既是开集，也是闭集。

?. 定理2.2.2 A?A?A证 （自证！）

定理2.2.3 设(X,?)是拓扑空间，则A?X是闭集?A??A.

证 “?” 若A?X是闭集，则由命题2.2.1(3)（A是闭集 ?A?A）及定理2.2.2知：

A??A.

“?” 若A??A，则由定理2.2.2知：A?A?A??A是闭集。 证毕！

定理2.2.4 设(X,?)是拓扑空间，则X的闭集具有下列基本性质：

(1) X,?都是闭集；

(2) 任意有限个闭集的并是闭集； (3) 任意闭集族的交是闭集。 定理2.2.5

(1) ???； (2) A?A; (3) (A)?A; (4) A?B?A?B.

定义2.2.8 设(X,?)是拓扑空间，A?X，B?X. 若

B?A,

则称集A在集B中稠密（dense）。

特别地，集A在X中稠密或称A是X的一个稠密子集，其充要条件是

A?X.

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例2.2.14 设(X,?)是有限余拓扑空间，因为其开集是有限集的余集、X及?，所以X中的闭集就是有限集、?及X. 若A?X，则

A???A,当A是有限集时，

X,当A是无限集时.?In fact 当A是有限集时，A是闭集，因此A?A.

当A是无限集时，X中能包含A的闭集只有X，因此A?X.

由此知：有限余拓扑空间中的任意无限集都是X的稠密子集. ※

例2.2.15 设X?{a,b,c,d,e}，??{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}是

X上的拓扑，则此拓扑空间的闭集是

?,X,{b,c,d,e},{a,b,e},{b,e},{a}.

于是

{b}?{b,e},{a,c}?X,{b,d}?{b,c,d,e}.

因为{b,c,d}?{b,d}，所以{b,d}在{b,c,d}中稠密。 因为{a,c}?X，所以{a,c}是X的一个稠密子集。

由例2.2.10知：A?{a,b,c}?X的导集是A??{b,d,e}，所以

A?A?A??X,

故A也是X的一个稠密子集. ※

定义2.2.9 设(X,?)是一个拓扑空间，{xn}?X,x?X.

若对于x的任意邻域U，存在自然数N，当n?N时，xn?U， 则称点列{xn}（按拓扑?）收敛于x（converges to 或称x是点列{xn}的极限（limit），记为

?xn?x(n??) 或 xn?x(n??).

， x in topology ?）

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