2.2 拓扑空间和连续映射

例2.2.16 设(X,?)是平庸拓扑空间，即：??{?,X}，{xn}?X,?x?X.

因为X是包含x的唯一开集，且X包含{xn}的每一项，所以点列{xn}收敛于X中的每一点x.

例2.2.17 设(X,?)是离散拓扑空间，即：?对于?x?X，{x}是包含x的开集。

于是，若要点列{xn}收敛于x，则集{x}必须含有{xn}的几乎所有项。 因此点列{xn}收敛于x?{xn}具有形式{x1,x2,?,xN

例2.2.18 设X是任意一个不可列集，O是X的一个子集. 若O的余集O?X?O是可列集或有限集，则称O具有可列余. 设?是由具有可列余的子集以及?,X组成的集类，不难验证?是一个拓扑，并称之为可列余拓扑。 而(X,?)称为可列余拓扑空间。

对?x?X，点列{xn}?X收敛于x ?

c?2X.

,x,x,?,x,?}.

{xn}具有形式{x1,x2,?,xN,x,x,?,x,?}；

即：{xn}中不同于x的项所构成的集A是一个有限集。 证 因为A可数，所以Ac是包含x的一个开集。

若xn?x(n??)，则Ac必须包含{xn}的几乎所有项，

因此A有限。 证毕！

例2.2.19 在Euclidean空间内，设x0是E的一个聚点，则必存在一个点列{xn}?E

xn?x0(n?1,2,?)，xn?x0.

但在一般的拓扑空间(X,?)内，这一事实不一定成立.

例如， 在可列余拓扑空间(X,?)内，设x0?X，考察E?X?{x0}?X. 显然每个

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包含x0的开集必含有E中的点，因此x0是E的一个聚点.

由例2.2.18知：不存在一个点列{xn}?E xn?x0(n?1,2,?)，xn?x0. ※

2.2.2 连续映射

定义2.2.10 若x?X，且则称

f(x)在Y中的任意邻域W的原象f?1(W)是x在X中的邻域，

。 f（为）在点x处连续（的映射）

设X和Y是拓扑空间，f是X到Y内的映射。若对Y的每个开集V，f?1(V)是X的开集，则称

定理2.2.2 设X,Y,Z都是拓扑空间，若f:X?Y,g:Y?Z为连续映射，则复合映射g?f:X?Z也是连续映射。

若f:X?Y,g:Y?Z分别在x?X处和

f为连续映射。

f(x)?Y处连续，则复合映射

g?f:X?Z也在x处连续。

定义2.2.11 设X,Y是拓扑空间，若和

，且ff:X?Y是X到Y的一一对应（或：双射）

f?1都是连续映射，则称f为从X到Y上的同胚映射或同胚(homeomorphism)（或：拓

扑映射）。

定理2.2.3 对于任意拓扑空间X,Y,Z，有

(1) 恒等（或：恒同）映射?:X?X（即：?(x)?x）是同胚；

(2) 若f:X?Y是同胚，则f?1:Y?X也是同胚；

(3) 若f:X?Y,g:Y?Z是同胚，则g?f:X?Z也是同胚。

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定义2.2.12 设X,Y是拓扑空间，若存在从X到Y上的同胚（映射），则称X与Y同胚。

定理2.2.4 对于任意拓扑空间X,(1) X与X同胚；

(2) 若X与Y同胚，则Y与X同胚；

(3) 若X与Y同胚，若Y与Z同胚，则X与Z同胚。

注1 同胚关系是一个等价关系; 或严格地说：

对于任意给定的拓扑空间族，这一族中的拓扑空间之间的同胚关系是一个等价关系。※

注2 同胚关系将拓扑空间分成互不相交的等价类，属于同一类的拓扑空间彼此同胚；而属于不同类的拓扑空间彼此不同胚。 ※

例2.2.20 设X?R，映射f:X?X的定义是：f(x)?sinx(x?X). f是否连续，这要看X上的拓扑结构.

设?1是所有包含0的开区间以及?,X的拓扑；

1Y,Z，有

?2是X上的通常拓扑. 则

f:(X,?2)?(X,?2)是连续的；但 f:(X,?1)?(X,?2)是不连续的.

后者是因为在?2中存在开集(12,32)，其原像

?13???????U??x?X?sinx????,???1，

22?????63?即U不是?1中的开集. ※

例2.2.21 设(X,?x),(Y,?y)是两个拓扑空间，f:X?Y. 若对X中的每一点x以及X中任何一个收敛到x的点列{xn}，在Y内都有f(xn)?f(x)，f是否连续？

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在Euclidean空间(带有通常拓扑)内，回答是肯定的；但在一般的拓扑空间(X,?)内，这一事实不一定成立. 例如：

设X?R，?1是可列余拓扑；?2是X上的通常拓扑. 考察映射

1f:(X,?1)?(X,?2)

f:x?x2.

在(X,?1)中，对每个x，由例2.2.18知：只有形如{x1,x2,?,xN,x,x,?,x,?}的点列

2222收敛于x，其象{x1,x2,?,xN,x2,x2,?,x2,?}当然也收敛于x的象x；但?2中的开集

(1,4)的原象(1,2)却不是?1中的开集（因为(1,2)的余(??,1]?[2,?)不是可数集），因此f不连续.

于是(X,?1)与(X,?2)不同胚. ※

定义2.2.13 拓扑空间的某种性质P，如果经过同胚映射保持不变（即：若拓扑空间X具有性质P，则与X同胚的任一拓扑空间也具有性质P），则P称为拓扑不变性质。换言之，拓扑不变性质是同胚的拓扑空间所共有的性质。

注 拓扑学的中心任务就是研究拓扑不变性质。

2.2.3 可数公理和隔离公理

这里简要地介绍一下怎样防止拓扑空间过于一般化而产生的许多很不细致也很不正常的现象。作为一个拓扑空间，它只装备着满足三条性质的开集体系，其余的一切只能从这三条性质出发，当然会显得不够细致了。为了使它更细致些，就必须另外加进一些公理，在这些公理的限制下，空间的性质将会变得更好一些。

这些公理共有2套：一套是可数公理，另一套是隔离公理。

可数公理说的是开集的“数量”。如果拓扑空间中的开集有不可列无限多个，问能不能从中选出可列个就够用了，这就是可数公理的作用；它共有2个：

第一可数公理 若拓扑空间(X,?)内的每个点x，存在可列个开集Un(n?1,2,?)，

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