1.3导数在研究函数中的作用

§1.3导数在研究函数中的作用

§1.3.1单调性（1）

目的要求：（1）弄清函数的单调性与导数之间的关系 （2）函数的单调性的判别方法；注意知识建构 （3）利用导数求函数单调区间的步骤

（4）培养学生数形结合的能力。识图和画图。

重点难点：函数单调性的判别方法是本节的重点，求函数的单调区间是本节的重点和难点。 教学内容：

导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数 的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，回忆：什么是增函数，减函数，增区间，减区间。 思考：导数与函数的单调性有什么联系？

y y

f'(x)?0

x x O a b O

函数的单调性的规律：

思考：试结合函数y?x3进行思考：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有

f'(x)?0吗？

例1． 确定函数f(x)?x?4x?3在那个区间上是增函数，哪个区间上是减函数。

例2． 确定函数f(x)?2x?6x?7在那些区间上是增函数？

例3． 确定函数f(x)?sinx(x?[0,2?])的单调减区间。

322巩固：

1．确定下列函数的单调区间：

（1）y?x?x2 （2）y?x?x3

（3）y?xlnx （4）y?sinx?cosx

2．讨论函数f(x)的单调性：

（1）f(x)?kx?b （2）f(x)?k x

2（3）f(x)?ax?bx?c(a?0)

小结：函数单调性的判定方法，函数的单调性区间的求法。

作业：

231．设f(x)?2x?x，则f(x)的单调减区间是

2．函数y?(x?1)4的单调递增区间为 3．二次函数y?x2?2ax?b在 ??1,???上单调递增，则实数a的取值范围是 4．在下列结论中，正确的结论共有： （ ）

①单调增函数的导函数也是增函数 ②单调减函数的导函数也是减函数

③单调函数的导函数也是单调函数 ④导函数是单调的，则原函数也是单调的 A．0个 B．2个 C．3个 D．4个

5．若函数f(x)?(x?1)2,g(x)?x2?1,则f[g(x)]的单调递减区间为 单调递增区间为 6．已知函数y?3x3?2x2?1在区间(m,0)上为减函数，则m的取值范围是 7．求函数y?2x3?3x2?12x?14的递增区间和递减区间。

8．确定函数y=2x?lnx的单调区间．

9．如果函数f(x)?ax3?x2?x?5在R上递增，求a的取值范围。

§1.3.1单调性（2）

目的要求：（1）巩固利用导数求函数的单调区间 （2）利用导数证明函数的单调性 （3）利用单调性研究参数的范围

（4）培养学生数形结合、分类讨论的能力，养成良好的分析问题解决问题的能力 重点难点：利用图像及单调性区间研究参数的范围是本节的重点难点 教学内容：

1．回顾 函数的导数与单调性之间的关系 2．板演 求下列函数得单调区间：

32（1）f?x??2x?3x?36x?16； （2）f?x??x?4； x

(3) f?x??

x; (4) f?x??x?lnx ; 21?xx2（5）f?x??x； （6）f?x??x?sinx?0?x?2??。

e

3．典型例题： 例1．证明y?x?1在(??,??)内是增函数。 2x?1

例2．（1）已知函数y=ax2(a≠0)当x＞0时是减函数，利用求导数的方法确定a的范围．

（2） 求p为何值时，函数f(x)=cosx－px＋q在(－∞，＋∞)内是减函数？ 例4．已知函数y?ax3?bx2?6x?1的递增区间为(?2,3)，求a,b的值。

．若函数y?x3?ax2?4在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为

例6．若f(x)?ax3?x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

小结：1）求函数单调区间时注意区间端点

2）解题时尽量构造图像帮助分析问题，解决问题 3）注意单调区间和某一区间单调性的区别 4）求参数的范围时注意分类讨论

作业：

1．若函数f(x)?ax5?x在R上增函数，则 （ ）

A. a≤0 B. a≥0 C. a<0 D. a>0

y 2．函数f (x)的导数f/(x)在区间(a,b)上的图形如右图。 由图可知，函数f (x) （ ）

A.在(a,b)内单调递增 B.在(a,b)内单调递减

C.在(a,x0)内单调递增 ,在(x0,b)内单调递减 D.在x=x0处有最小值

3．函数f(x)?x?ax?bx?c其中a,b,c为实数，当

2x0 32O a b x a?3b?0时，f (x)是 （ ） A.增函数 B.减函数

C.常数 D.既不是增函数也不是减函数

4．函数f(x)是定义在R上 的可导函数，则y?f(x)为R上的单调增函数是f'(x)?0的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件（ ） 5．下列的命题中，正确的是（ ）

A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数

C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数 D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数 6．若函数f(x)?x?mx?m?2的单调递减区间为（0，3），则m? 7．若y?3213a2x?x?bx在区间[?3，2]上单调递减，而在其余区间上单调递增，则a的32取值范围是

38．已知a?0，函数f(x)?x?ax在[1，??)上单调增函数，则a的范围是

9．证明：函数y?2x?3x?12x?10在区间(?2,1)是减函数。

10．已知函数y?ax2?b(a?0)，当x?0时是增函数，利用导数的方法，确定a的值

11．已知函数f(x)?ax3?3x2?x?1在R上是减函数，求实数a的取值范围。

312．已知函数y?x?ax?6的一个单调递增区间为(1,??)，求a的值，及函数的其它单调区间

313．已知函数f(x)?x?ax?8的单调递减区间为(?5,5)，求函数f(x)的递增区间。

14．若函数f(x)?

15．若函数f(x)?a(x?x)的递减区间为(?

3321312x?ax?(a?1)x?1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）32上为增函数，试求实数a的取值范围。

33,)，则a的取值范围是多少？ 33

16．已知函数y?ax与y??单调区间

17．用导数证明：

（1）f(x)?ex在区间(??,??)上是增函数 （2）f(x)?ex?x在区间（??,0)上是减函数

x18．证明：x?0时，e?x?1

b在区间(0,??)上都是减函数，确定函数y?ax3?bx2?5的x§1.3.2极值点（1）

目的要求：（1）什么是函数的极值

（2）函数的导数与极值之间的关系 （3）求函数的极值 （4）极值的应用

重点难点：导数与极值之间的关系是本节的重点难点 教学内容： 1．函数的极值

y

x x1 O x2 x3

2．函数的极值与导数之间的关系：

3．例题：

例1．求f(x)?x?x?2的极值。

例2．求f(x)?2131x?4x?的极值 33

3思考：（1）试联系函数y?x思考：当f'(x0)?0时，能否肯定函数f(x)在x0取得极值？ （2）如果函数f(x)有极小值f(a)，极大值f(b)，那么f(a)一定小于f(b)吗？试

作图说明。

巩固：1）求下列函数的极值： （1）y?x?13 （2）y?x?12x x

2）根据下列条件大致作出函数的图像。

（1）f(4)?3,f'(4)?0,当x?4时，f'(x)?0；当x?4时f'(x)?0 （2）f(1)?1,f'(x)?0，当x?1时，f'(x)?0