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2013年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质
【基础知识回顾】
一、 二次函数的定义：
一、 一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数 【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】
二、二次函数的同象和性质：
2
1、二次函数y=kx +bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式
b2、在抛物y=kx +bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，y口向 ，当x<-时，y2a2
随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口
b向 当x<-时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小 2a【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标 2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移 【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】 四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点 【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】 【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1 （2012?常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
思路分析：根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．
解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），
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∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，
∴y3＞y2＞y1． 故选B．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 对应训练
1．（2012?衢州）已知二次函数y=?1215x-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x122＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
2．A
1215x-7x+， 22b?7∴此函数的对称轴为：x=?=???7， 12a2?(?)22．解：∵二次函数y=?∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A．
考点二：二次函数的图象和性质 例2 （2012?咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1； ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点． 思路分析：①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可． 解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确； ②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x=-?括与直线x=1重合），则??2m≥1在直线x=1的右侧（包2?2m≥1，即m≥1，故本选项错误； 2③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；
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④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=
4?2008=1006，则2??2m=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，2故本选项正确．
故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）．
点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．
对应训练
2．（2012?河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=
1（x-3）2+1交于点A（1，3），过2点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC； 其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1．解：①∵抛物线y2=1（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，22 ，故本小题3y2的值总是正数，故本小题正确； ②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=故y2-y1=
111（0-3）2+1=，2211，故本小题错误； 21（x-3）2+1交于点A（1，3）， 2④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3， ∴B（-5，3），C（5，3） ∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确． 故选D．
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
例3 （2012?玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
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①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2， 则正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项． 解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误； ∵抛物线的对称轴为x=?b=1，∴2a+b=0，选项②正确； 2a由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误； 令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0， ∵方程的两根为x1，x2，且?∴x1+x2=?bb=1，及?=2， 2aab=2，选项④正确， a综上，正确的结论有②④． 故选C 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
对应训练
3．（2012?重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=?结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
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