(5)
为三角多项式，后面我们将看到，将常数项记为的形式，是为了使有统一的表达式。
我们通过简单的计算可知，三角函数系
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,???,cosnx,sinnx,???
(6)
具有以下性质
nxdx????cos????? sinnx?dx 0(7)
mx??cos??consxd?x0?(m n
(8)
??sinmx??sinxd?x0?(m n
(9)
(10)
即三角函数系（6）中任何两个不同函数的乘积在上积分为0，我们称这一性质为三角函数系(1)的正交性。也称(6)为正三角函数系。从后面的推导我们也看到，三角函数系(6)的正交性在三角级数研究中扮演了重要的角色。
另外，我们还有
????co2snxdx?????si2nnx?d?x?(n1,???2?,???)2,?d1?x 2 (1
1)
2.2.2周期为的函数的傅里叶级数
设函数能够表示成三角级数(4)，即
(12)
并且(12)式右边级数在上一致收敛，则有如下关系式：
, n=0,1,2,… (13a)
, n=0,1,2,… (13b)
证明：由定理条件，对（12）式逐项积分可得：
a = 02由关系式以
???n???dx??(a??cosnxdx?b??sinnxdx).
?n?1n?n???????cosnxdx?b??sinnxdx?0知，上式右边括号内的积分都等于零，所
即得
现以乘（12）式两边（t为正整数），得
?a0f(x)?costx?costx??(ancosnxcostx?bnsinnxcostx)
2n?1（14）
由级数（12）一致收敛，可以推出级数（14）也一致收敛。现在对级数（14）逐项求积，有
a =02????costxdx??(an?cosnxcostxdx?bn?sinnxcostxdx)
n?1???????由三角函数的正交性，右边除了以为系数的那一项积分外，其他各项积分都等于零，于是得出
??f(x)costxdx?a?(t?1,2,???)
?t?
即
at?1?1??f(x)costxdx(t?1,2,???)
??同理，（12）式两边乘以，并逐项求积，可得
bt?f(x)sintxdx(t?1,2,???) ?????一般的说，若是以为周期且在上可积分的函数，则按公式（13）计算出的和叫做函数的傅里叶级数，记作
a0? f(x)~??anconxs?bn2n?1这里的“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。
snxin )2.2.3周期为的函数的傅里叶级数
设是以2为周期的函数，通过变量置换
可以把变成以为周期的t的函数.若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是
a0? F(t)~???anconts?bn2n?1 snti?n(1)
其中
n=0,1,2…
(2)
n=1,2…
因为，所以。于是由（1）与（2）式分别得
a0??n?x f(x)~???ancos?bn2n?1?l
n?x?sin? l?
(3）
与
, n=0,1,2…
(4)
, n=1,2…
这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶级数，（3）式是的傅里叶级数.
2.2.4傅里叶级数的性质
1、 收敛性
定理 傅里叶级数的收敛准则——狄利克雷（Dirichlet）定理
若 （1）在上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在；
（2）在上只有有限个极大值点与极小值点； （3）在外是周期函数，其周期为2，则级数
a0?k?k?f(x);在连续处 （1） ??(akcosx?bksinx)?{1?f(x?0)?f(x?0)?在间断处2k?1ll2证明
na0k?k???(akcosx?bksinx) 2k?1ll?1n?1lk?k?k?k?=?f(?)????cos?cosx?sin?sinl?lllll?2k?1?1lk??1n?=?f(?)???cos(x??)?d? l?ll?2k?1???x??d? ??
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