[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 姓名： 物理竞赛真题专项(10) 相对论 1．〔26届复赛〕六、（20分）两惯性系S′与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿z轴正向以速度v高速运动。作为光源的自由质点静止于S′系中，以恒定功率P向四周辐射（各向同性）光子。在S系中观察，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）。 1．在S系中观察，S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内。u?x?v求该圆锥的半顶角α。已知相对论速度变换关系为 ux? 21?u?v/cx式中ux与ux′分别为S与S′系中测得的速度x分量，c为光速。 2．求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。 【思路与心得】 六、参考解答： 1．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c．以?和??分别表示光子速度方向在S和S?系中与x和x?轴的夹角，则光速的x分量为 ux?ccos?， ?(2) (1)u?x?ccos?． 再利用相对论速度变换关系，得 cos??cos???vc． 1?vcos??c(3) S?系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于0????π2的方向角范围内，S系
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[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 v2c?arccosv． 中，此范围对应0????．由上式求得 ??arccosv?c1?cosc2cos??(1) 可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小． 2．S?系中，质点静止，在?t?时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即 P?t???m0c2， (2) 式中?m0为?t?时间内质点减少的质量．S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少?m，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为?p??mv，即 ?p??m0v1-vc22(3)转化为光子的总能量为?E??mc，即?E?2?m0c21?vc22． (4) S?系中光源静止，测得的辐射时间?t?为本征时，在S系中膨胀为?t?由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为 ?t?1?vc22 (5?E?pvP?P． (7) ?2， (6)?t?tc评分标准：本题20分.第1小问7分.(3)式4分，(4)式3分.第2小问13分.(5)、 (6) 、(7)式各2分，(8)式3分，(9) 、(10) 式各2分． 2．〔21届复赛〕三、(15分)?子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命?0?2.0?10?6s．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批?子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N(0), t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有N?t??N?0?e?t?，式中?为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的?子数为原来的5％，试估算?子产生处相对于地面的高度h．不考虑重力和地磁场对?子运动的影响． 【思路与心得】 第 38 页 共 48 页
[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命?0?2.0?10?6s 根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，
???01??vc?2 (1)
代入数据得? = 1.4×105s (2)
－
相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
N?t?N?t??N?0?e?t? (3)根据题意有?e?t??5%(4) N?0?对上式等号两边取e为底的对数得t???ln代入数据得t?4.19?10?5s
5 (5) 100(6)
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有h?vt (7) 代入数据得h?1.24?104m (8)
评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分． 3．〔23届复赛〕七、（16分）串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图。S是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分N为充有氮气的管道，通过高压装置H使其对地有5.00?10V的高压。现将氢气通人离子源S，S的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子T。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达T时的速度v。 电子电荷量q?1.60?10?196C，质子的静止质量
m0?1.673?10?27 kg。
【思路与心得】
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[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】
七、参考解答：
带电粒子在静电场内从S到T的运动过程中，经历了从S到N和从N到T的两次加速，粒子带的电荷量q的大小均为1.60?10?19C，若以U 表示N 与地之间的电压，则粒
m0子从电场获得的能量?E?2qU (1)质子到达T处时的质量m? (2)
21??vc?式中v为质子到达T时的速度．质子在S处的能量为m0c2，到达T处时具有的能量为mc2，电子的质量与质子的质量相比可忽略不计，根据能量守恒有mc2??E?m0c2（3）
12qU7?1?由（1）、（2）、（3）式得代入数据解得v?4.34?10m/s（4） 22mc01??vc?评分标准：本题16分．
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