[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 姓名： 物理竞赛真题专项(3) 动量 1．〔20届复赛〕七、(25分)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速v0抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为?（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离． 【思路与心得】 七、参考解答 设物块在A1点第一次与地面碰撞，碰撞前水平速度仍为v0，竖直速度为u0?2gh （1） 碰撞后物块的竖直速度变为u1，根据题意，有 u1?eu0 （2） 设物块的质量为m，碰撞时间为?t，因为碰撞时间极短，物块与地面间沿竖直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，这样，物块对地面的mu0?mu1正压力的大小为N1? （3） ?t水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果，设水平方向速度变为v1，则有 mv1?mv0???N1?t （4） 由以上各式得v1?v0?(1?e)?u0 （5） 同理，在落地点A2，A3，?，An其碰撞后的竖直分速度分别为u2?e2u0 u3?e3u0???? un?enu0（6）其水平速度分别为 v2?v0?(1?e)?(1?e)u0;v3?v0?(1?e)?(1?e?e2)u0???? vn?v0?(1?e)?(1?e?e2???en?1)u0 （7） 由式（6）可知，只有当碰撞次数n??时，碰地后竖直方向的分速度un才趋向于零，但物块对地面的正压力的最小值不小于mg。地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于 ?mg，因次，物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向。设经过n?n0次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在n?n0?1次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零。因vn2n00?1?0，由式（7） (1?e)?(1?en0?1)u0(1?e)v0v0?(1?e)?(1?e?e???e)u0?0;v0? ?0 ;en0?1?1?(1?e)?u01?e两边取对数n0?1?(1?e)v0?(1?e)v0?1?1?lg?1?B?lg1? （8）令 ??? （9）lge?(1?e)?u0?lge?(1?e)?u0?若B恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间?t，水平速度变为零，则碰撞次数 n0?1?B有 n0?B?1 （10） 第 9 页 共 48 页
[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 若B不是整数，此种情况对应于在n?n0?1次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零。则碰撞次数 n0?1??B??1有n0??B?（11）?B?表示B的整数部分。 由于经过n0?1次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在An0?1处作上下跳跃，直到enu0?0，即n??，最后停止在An0?1处。物块运动的最远水平距离s?A0An0?1。下面分别计算每次跳跃的距离。A0A1?u0 v0 （12）g222eu0v02eu02e2u0v02e2u02u1A1A2?v1??(1?e)?; A2A3??(1?e)?(1?e) ggggg22en0u0v02en0u0???? An0An0?1??(1?e)?(1?e?e2???en0?1) （13） gg所求距离为上述所有量的总和，为 2u02u0v02u0n02s?v0?(e?e???e)?(1?e)?[e?e2(1?e)?e3(1?e?e2) ggg ???e0(1?e?e2???e23nn0?1)] （14） n01?en0分别求级数的和：e?e?e???e?e （15） 1?ee?e2(1?e)?e3(1?e?e2)???en0(1?e?e2???en0?1)1?en0?e?e?e???e1?e1?e1?e1?[e(1?e)?e2(1?e2)?e3(1?e3)???en0(1?en0)]1?e21?e231?e3n01e?en0?1?en0?2?e2n0?2 ?() 21?e1?e（16）将以上两个关系式和u0?2gh代入式（14），得 2h1?en04e?h s?v0(1?2e)?(1?en0)(1?en0?1)（17）式中n0由（10）或式（11）决定。2g1?e(1?e)评分标准：本题25分。式（6）3分，式（7）6分，式（8）4分，式（10）2分，式（11）2分，式（14）5分，求得式（17）并说明n0的取值，给3分。 2．〔21届复赛〕六、(20分)如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性D 轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为??? ，??< ?/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小． 【思路与心得】 第 10 页 共 48 页
BA ???? C E [益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vB?表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理，对C有I?sin??mvC (1)I?I?cos??mv (2) 对B有I?sin??mvB (3)对AB有I?cos??2m?v?vB?? (4) 因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有 3?sin2?vCsin??vB?cos??vBsin? (5)由以上五式，可解得I?mv (6) 1?3sin2?评分标准：本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分． 3．〔23届复赛〕二、（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。 【思路与心得】 二、参考解答： 1． 求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度 设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为vA、vB、vC、vD，并设它们的方向都与v0的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有 Mv0?MvA?3mvC（1）碰撞前后质点组的角动量守恒，有0?mlvC?2mlvD（2）这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是1112121222弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有Mv0 ?MvA+mvB?mvC?mvD（3）22222因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有4M解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 vC=0（5）和vC?vB?vC=vC?vD （4）v05M?6m（6）因为vC也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度 5M?6m10M2M vA?v0（8）vD??v0（7）vB?v0（9） 5M?6m5M?6m5M?6m2．讨论碰撞后各小球的运动 碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球4MC将以（6）式的速度即vC?、（8）、（9）式可v0沿v0方向作匀速运动．由（4）5M?6m知，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为 v?v6Mv0（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的 ??BC?l5M?6ml
第 11 页 共 48 页
[益民工作室]高中物理奥赛 真题演练【专项冲刺】 速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论： （i）vA=0，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 5M?6m?0M6（ii）vA<0，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动?（11）m5M6的条件是（iii）vA>0但vA?vC，即碰撞后小球A 沿v0方向作匀速直线运?（12）m5动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 即5M?6m?0和4M?5M?6m 即m?M?6m（13） （iv）vA?vC，即碰撞后小球A仍沿v0方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是M?6m（14） （v）vA?vC，即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿v0方向运动，发生这种运动的条件是M?6m（15） 在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过180?时，小球D 将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿v0方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时π?5M?6m?πlπl?（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路间间隔是t???6Mv0v0652πl（17） 33．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度 刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180?，这时，小球B的速度为vD，小球D的速度为程d?vCt?vB．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰???撞后小球A、B、C、D的速度分别为v?A、vB、vC和vD，并假定它们的方向都与v0的方??3mvC?（18）0?mlvC??2mlv?向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得Mv0?MvA B （19）111112?2+mvB?2?mvC?2?mvD?2（20） Mv0?MvA22222???由杆的刚性条件有v?（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次D?vC?vC?vB （21）碰撞时与D球重合的空间点． 把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了??0 （22） 小球B 和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解vC4M??和vCv0（23）对于由B、C、D 三小球组成的系统，在受到A球的作用后，5M?6m其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，??应该舍去．取（22）式时，可解得v?（22）、（24）、A?v0（24）vB?0 （25）vD?0（26）（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度v0作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第2πl一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离d?，而且小球D和B换了位置. 3
第 12 页 共 48 页
相关推荐：
loading