专题22 函数综合（求点的坐标）
教学重难点
1.掌握用待定系数法求解函数的解析式；
2.培养学生能根据题目中的条件画出大致需要的图形； 3.培养学生分析问题、解决问题的综合能力。
【备注】本部分为知识点回顾总结，时间大概为5分钟左右，注意让学生多画图回顾。 函数基础知识点梳理： 反比例函数y?k(k?0) x一次函数二次函数y?kx?b(k?0) k＞0 y?ax2?bx?c(a?0) a＞0 最高次系 数符号 图象 k＞0 k＜0 k＜0 a＜0 y y OxOx 性质 1.图象经过一、三象限 2.在每一个象限内，y随x的增大而减小。 1.图象经过1.图象经过1.图象经过二、四象限 2.y随x的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直线x??b 2a 1.开口向下 2.对称轴：直线x??b 2a二、四象限 一、三象限 2.在每一象限内，y随x的增大而2.y随x的增大而增大。 3.顶点坐标：3.顶点坐标：b4ac?b2b4ac?b2(?，?)(?，?)2a4a2a4a增大。
函数综合题目考点分析：
1.求解函数解析式，以二次函数为主；
2.求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
3以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需
要及时画图观察。
1.（2020长宁、金山一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝C（5，0），且与y轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．
12
x+mx+n经过点B（6，1），3
【整体分析】
（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝
12
x+mx+n即可； 3（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．
【满分解答】
解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝
12
x+mx+n， 3?1?12?6m+n,?得? 250=?5m?n,?3?解得，m＝﹣，n＝5， 则抛物线的解析式为：y＝
83128x﹣x+5，点A坐标为（0，5）；
33（2）∵AC＝52?52?52，BC＝(6?5)2?12?∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
2，AB＝(5?1)2?62?213，
当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q，
∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°， ∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°， ∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB， 又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线， 由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1）， 将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5， ∴k＝﹣
33，∴yAB'＝﹣x+5， 223?y?x?5,??72联立?解得，x1＝，x2＝0（舍去），
182?y?x2?x?5?33?则F'（
71，﹣）， 24将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n， 得，??6k?b?1,?k?1,解得，?∴yBB'＝x﹣5，
?4k?b??1,?b??5.由题意知，kFF'＝KBB'，∴设yFF'＝x+b， 将点F'（
7115，﹣）代入，得，b＝﹣，
42415， 4∴yFF'＝x﹣
221??y?x?5,x?,????34联立?解得，?
35?y?.?y?x???2?4?∴F（
213，）， 42则FF'＝(21723172． ?)?(?)2＝42244
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．
2.（2020闵行一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C(0，2)，与x轴交于A(-3，0)、B两点(点A在点B的左侧).
(1)求这条抛物线的表达式. (2)连接BC，求∠BCO的余切值.
(3)如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO =∠BCO，求点P的坐标.
【整体分析】
（1）首先设抛物线的解析式，然后根据对称轴和所经过的点，列出方程，即可得出解析式； （2）首先求出B坐标，即可得出OB?1，OC?2，进而得出∠BCO的余切值；
（3）首先根据?CEO??BCO的余切值列出等式，得出点E的坐标，然后根据点C的坐标得出直线解析式，最后联立直线和抛物线的解析式即可得出点P坐标.
【满分解答】
(1)设抛物线的表达式为y?ax2?bx?c(a?0).
?b??2a??2?由题意得：?9a?3b?c?0
?c?2??解得：a?28，b?.
33228x?x?2. 33∴这条抛物线的表达式为y?28(2)令y = 0，那么x2?x?2?0，
33解得x1??3，x2??1. ∵点A的坐标是(?3，0) ∴点B的坐标是(?1，0).
∵C(0，2)
∴OB?1，OC?2.
在Rt△ OBC中，∠BOC=90o， ∴cot?BCO?OC?2. OB(3)设点E的坐标是(x，0)，得OE=x. ∵?CEO??BCO， ∴cot?CEO?cot?BCO. 在Rt△EOC中，∴cot?CEO?OEx??2. OC2∴x=4，∴点E坐标是(4，0)或 (?4，0). ∵点C坐标是(0，2)， ∴lCE:y?11x?2或y=?x?2. 22?y???∴??y???11?x?2y??x?2??22 ，或?
22828?y?x2?x?2x?x?2?3333?1319??x??x?????x?0??44?x?0()(舍去)； 解得?和?舍去，或?和?335?y?2?y?2?y??y???88??∴点P坐标是(?1331935). ，)或(?，
8448【点睛】此题主要考查直线、抛物线解析式的求解以及综合应用，熟练掌握，即可解题.
3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）。将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA?B?C?．设直线BB?与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y?ax?bx?c的图像经过点C?、M、N。解答下列问题：
（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线BB?翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由； （3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛
2物线的解析式。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A（3，0），C（0，1），点B、A'、B'、C?、M、N ； 2.二次函数经过C?、M、N 三点；
3.其它特殊条件：矩形OABC、矩形OA?B?C? 。
二.求二次函数解析式：将C?、M、N 三点代入函数解析式，解方程组。 三.断点P是否在该抛物线上：
1.思路：先求解点P的坐标，再验证是否在抛物线上； 2.可求得P(2, 4)；则点P不在抛物线上。 四.求平移后抛物线的解析式：
1.条件：抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O 2.分向下、向左、向右三种情况，可求得三个抛物线解析式。 【满分解答】
(1) 可以求出点C'(-1 , 0), N(0 , 52), M(5 , 0)
??a?b?c?0 代入 y?ax2?bx?c得 ??c?5 ?2??25a?5b?c?0??a??1 解得：?2?b?2
??5?c?2 ； ∴所求抛物线的解析式为y??（2）不存在，理由如下： 可求出点P(2, 4)
125x?2x? 22159把 x?2 代入y?-x2?2x? 得：y??4
222∴点P不在该抛物线上
（3）又Qy??12519x?2x?=?(x?2)2? , 2222 NO?5 , C'O?1 , MO=5 2∴ 所求的抛物线的解析式为：
1951y??(x?2)2????x2?2x
2222191191或y??(x?2?1)2???x2?3x 或y??(x?2?5)2???x2?3x。
222222
4.已知：直角坐标系xoy中，将直线y?kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B??3,0?及y轴上的C点。若抛物线y??x?bx?c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C。
(l)求直线BC及抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上,且?APD??ACB；求点P的坐标。
2
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：B??3,0?，C?0,?3?，点A坐标可求；
2.二次函数经过点A、B、C三点。
二.求解一次函数和二次函数的解析式：将B??3,0?，C?0,?3?两点的坐标分别代入一次函数和二次
函数的解析式，解方程组可得。
三.当?APD??ACB时；求点P的坐标：
1.求解点A、D的坐标，并判定△OBC的形状，可得△OBC是等腰直角三角形；
2.添加辅助线：设抛物线对称轴与x轴交于点F ，过点A作AE?BC于点E； 3.角度相等，一般转化为三角形相似，则可得△AEC∽△AFP； 4.用相似三角形边之比求解点的坐标：可得上求点P的坐标。
【满分解答】
⑴ Qy?kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴C（0，-3） 设直线BC的解析式为y?kx?3．
∵ B(-3 ，0) 在直线BC上，∴ -3k-3=0 解得k??1． ∴直线BC的解析式为y??x?3． Q抛物线y??x?bx?c过点B，C，
2AECE，解得PF?2，再利用点P在抛物线的对称轴?AFPF∴???9?3b?c?0?b??4， 解得：?
c?3．??c??32∴ 抛物线的解析式为y??x?4x?3．
⑵ 由y??x?4x?3．可得D(-2，1) ，A（-1，0）．
?OB?3，OC?3，OA?1，AB?2。可得△OBC是等腰直角三角形。
2??OBC?45o，CB?32．
设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF?1AB?1。 2过点A作AE?BC于点E。??AEB?90o． 可得BE?AE?2，CE?22．
在△AEC与△AFP中，?AEC??AFP?90o，?ACE??APF， ?△AEC∽△AFP． ?222AECE，．解得PF?2． ??1PFAFPFQ点P在抛物线的对称轴上， ?点P的坐标为(2，2)或(2，?2)．
21.（2020静安区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y?ax?bx?c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S?ABD:S?BCD?3:2，求tan∠DBC的值； （3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．
【整体分析】
（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D作DH∠BC于H，在∠ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到求出DH和BH，即可得到答案；
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∠∠OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.
【满分解答】
AD3?，然后DC2ca?0）解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入y?ax?bx?（得，
2?0?a?b?3,??0?9a?3b?4, ??3?0?0?c??a??1?解得?b?4，
?c??3?∴此抛物线的表达式是：y??x?4x?3．
（2）过点D作DH⊥BC于H，
2
在∠ABC中，设AC边上的高为h，则S?ABD:S?BCD?(又∠DH//y轴， ∴
11AD?h):(DC?h)?AD:DC?3:2， 22CHDCDH2???． OCACOA5∵OA=OC=3，则∠ACO=45°， ∴△CDH为等腰直角三角形，
26?3?． 5564∴BH?BC?CH?2??．
55DH3?. ∴tan∠DBC=
BH2∴CH?DH?（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，
∠OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∠∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC， ∠∠BAC=∠FAC， ∴∠OAB=∠OFA． ∴△OAB∠∠OFA， ∴
OBOA1??． OAOF3∴OF=9，即F（9，0）；
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
1?k??0?9k?b? ，解得?可得?3，
?3?b???b??3∴直线AF的解析式为：y?1x?3， 37将x=2代入直线AF的解析式得：y??，
3∴E（2，?7）. 3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.
2.（2018崇明区二模）如图，抛物线y?x?bx?c交x轴于点A(1,0)和点B，交y轴于点C(0,3)． （1）求抛物线解析式；
2（2）在抛物线上找出点P，使PC?PO，求点P的坐标；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N．当四边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标．
【整体分析】
（1）根据抛物线y?x?bx?c交x轴于点A?1,0?和点B，交y轴于点C?0,3?．用待定系数法直接
2求出即可；
（2）过P作PH?OC，垂足为H，PO＝OC，PH?OC，则CH＝OH?方程即可求出点P的横坐标，即可求解.
（3）连接NA并延长交OC于G，根据等腰梯形的性质得到GA＝GC，设GA＝x，则GC＝x，OG＝3－x在Rt△OGA中，根据勾股定理OA 2＋OG 2＝AG 2，列出方程，解得x＝ ∴OG＝3－x＝
【满分解答】
（1）∵抛物线y?x?bx?c 过点A（1，0）、C（0，3）
2332 令x?4x?3?，解225 34，求出 直线AG的解析式，联立方程，即可求出点N的坐标.进而求出点M的坐标. 3∴??0?1?b?c
?3?c?b??4 c?3?2解得 ?∴抛物线的解析式为y?x?4x?3
（2）过P作PH?OC，垂足为H ∵PO＝OC，PH?OC
∴CH＝OH?23 23… 2∴ x?4x?3?∴x?2?10 2?103?103P?2?,或（P2-，）. ???2222??（3）连接NA并延长交OC于G
∵四边形ACMN为等腰梯形，且AC∥MN
∴∠ANM＝∠CMN，∠ANM＝∠GAC，∠GCA＝∠CMN ∴∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GC 设GA＝x，则GC＝x，OG＝3－x 在Rt△OGA中，OA 2＋OG 2＝AG 2
5 344∴OG＝3－x＝ ，∴G（0，）
3344易得直线AG的解析式为y＝－ x＋
33445令－ x＋ ＝x 2－4x＋3，解得x1＝1（舍去），x2＝
333∴1 2＋( 3－x )2＝x 2，解得x＝ ∴N?,??.
?5?38?9??5??8?10
∴CM＝AN＝?1??????.
9?3??9?∴OM＝OC＋CM＝3＋
10 ＝ 92237 9∴M（0，
37） 937?58?）、N?,??.使四边形ACMN为等腰梯形 9?39?∴存在M（0，
【点睛】属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，等腰梯形的性质等，综合性比较强，难度较大.
3.已知一次函数y??的图像经过点A和点B。
（1）分别求这两个函数的解析式；
（2）如果将二次函数的图像沿y轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A（-2，3），点B坐标可求； 2.二次函数经过点A和点B 。 二.求二次函数的图像平移了几个单位：
1.根据前面求解情况，设平移后二次函数的解析式为y? 2.则可得对称轴是直线x?1（-2，3），并与x轴相交于点B，二次函数y?ax2?bx?2x?m的图像经过点A
2123x?x?2?n； 223，Q(0,n?2)，P(3,n?2)； 2 3.利用点P在一次函数的图像上求解。
【满分解答】
（1）∵一次函数y??1x?m的图像经过点A(?2,3)， 2∴3???(?2)?m，得m?2．
∴所求一次函数的解析式为 y??x?2． ∴点B的坐标为（4，0）．
1212∵二次函数y?ax2?bx?2的图像经过点A(?2,3)和点B(4,0)，
1?a?,??3?4a?2b?2,?2∴? 解得：?
0?16a?4b?2.3??b??.?2?123x?x?2． 2213（2）设平移后的二次函数解析式为y?x2?x?2?n．
223∴对称轴是直线x?，Q(0,n?2)．
21∴P(3,n?2)在一次函数y??x?2的图像上．
21∴n?2???3?2．
25∴n?．
25∴二次函数的图像向上平移了个单位．
2∴所求二次函数的解析式为 y?
4.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c?a?0?与x轴相交于A??1,0?，B?3,0?两
2点，对称轴l与x轴相交于点C，顶点为点D，且?ADC的正切值为
（1）求顶点D的坐标； （2）求抛物线的表达式；
1。 2（3）F点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF，若?FAC??ADC，求F点的坐标。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A??1,0?，B?3,0?，点C、D坐标可求； 2.二次函数经过点A、B、D三点。 二.求解顶点D的坐标：用tan?ADC?1结合相关条件求解。 2 三.求解二次函数解析式：将A、B、D三点代入函数解析式，解方程组。 四.若?FAC??ADC，求F点的坐标： 1.设点F的坐标；
2.利用相等角的三角比相等求解：则tan?FAC?tan?ADC； 3.计算求解。
【满分解答】
（1）∵抛物线与x轴相交于A（-1，0），B (3，0)两点，
∴对称轴l：直线x?1，AC?2； ∵?ACD?90?，tan?ADC?1， 2∴CD?4，∵a?0，∴D?1,?4?．
（2）设y?a?x?1??4， 将x??1,y?0代入上式，得，a?1， 所以，这条抛物线的表达式为y?x?2x?3． （3）过点F作FH?x轴，垂足为点H． 设Fx,x2?2x?3， ∵?FAC??ADC， ∴tan?FAC?tan?ADC，
22??1， 2FH1∴tan?FAC??，
AH2∵tan?ADC?∵FH?x?2x?3,AH?x?1，
2x2?2x?31?， ∴
x?12解得x1?∴F?
7， ,x2??1（舍）
2?79?,?． 2?4?
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