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注水算法解决信道功率分配问题
严红，学号：9340023，2012级，***
摘要：无线通信技术的日新月异是人类文明发展和社会进步的一个重要展现。自从1948年香农建立信息论开始，到现在通信已经进入飞速发展的年代，短短的几十年间，无线通信技术在人类社会的各个方面得到了无处不在的应用。无线通信过程中，在具有多径衰落的短波无线电信道上，即使传输低速（1200波特）的数字信号，也会产生严重的码间串扰。为了解决这个问题，除了采用均衡器外，途径之一就是采用多个载波，将信道分成许多个子信道。将基带码元均匀的分散地对每个子信道的载波调制。随着要求传输的码元速率不断提高，传输带宽也越来越宽。今日多媒体通信的信息传输速率要求已经达到若干Mb/s，并且移动通信的传输信道可能是在大城市中多径衰落严重的无线信道。为了解决这个问题，并行调制的体制再次受到重视。正交频分复用（OFDM，Orthogonal Frequency Division Multiplexing）就是在这种形式下得到发展的。在有限的频谱资源的条件下，由于电磁环境是复杂多变的，不同信道的质量也是不同的，如果直接将信号发射出去，信道的容量将不会很高。因此，在系统中增加资源调度模块根据信道增益自适应地进行资源配置，可明显提高系统吞吐量。文章介绍了使用MATLAB的cvx工具箱来解决注水算法的功率分配的凸优化问题。
关键字：正交频分复用（OFDM），信道容量，功率分配，凸优化
一、OFDM发展史
OFDM技术是由多载波调制技术发展而来的，既可以看作是一种调制技术，也可看作是一种复用技术。OFDM最早起源于二十世纪五十年代中期，早先主要应用在军用无线通信系统中；二十世纪七十年代，Weinstein和Ebert提出了使用离散傅里叶变换来实现多载波调制，但当时还没有出现实时傅里叶变换的设备，OFDM技术没有在实际中得到广泛应用；二十世纪八十年代，Cimini使得FFT技术可以快速简单地实现，OFDM在无线移动通信中的应用得到了快速发展；二十世纪九十年代以來，OFDM技术开始在欧洲国家广泛应用，在1999年，IEEE802.11a通过了一个５GHz的无线局域网标准，其中就采用了OFDM技术作为物理层标准，OFDM技术的实用化加快了脚部[1]。在数据进行并行传输的过程中，按照发射信号功率谱之间的重叠程度，多载波调制技术经历了三个频带的划分阶段。
第一阶段，1957年Collins Kineplex提出了高速并行数据传输系统使用若干个子载波来同时传输几个独立的数据流，这些子载波的功率谱之间完全独立，互不重叠。由于各子载波间保留了一定宽度的保护间隔，限制了系统频谱利用率的提高。
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图一：传统频分复用
第二阶段，为了提高频谱利用率，子载波采用了相互交错的正交幅度调制技术，相邻子载波的功率谱在3dB处重叠，与Collins Kineplex系统相比，频谱利用率提高了一倍。
图二：3dB频分复用
第三阶段，正交频分复用的多载波传输系统被提出来了。系统中的每个子载波的功率谱都是sinc函数，功率谱之间相互重叠。子载波的频谱间隔是保持各子载波之间正交性的最小间隔，极大地提高了系统的频谱利用率。
图三：正交频分复用
二、OFDM原理
设在一个OFDM系统中有N个子信道，每个子信道采用的子载波为：
xk(t)?Bkcos(2?fkt??k)k?0,1,...,N?1 （1）
其中Bk为第k路子载波的振幅，受基带码元的调制；fk为第k路子载波的频率；?k为第k路在载波的初始相位。
系统中的N路子信道之和为（复数表示）：
e(t)??xk(t)??Bk(2?fkt??k)??Bkej(2?fkt??k) （2）
k?0k?0k?0N?1N?1N?1图片表示：
图四：单个OFDM子带频谱
2
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图五：OFDM信号频谱
在上图中，各路子载波的频谱重叠，但是在一个码元持续时间内它们是正交的，在接收端利用正交特性将各路子载波分离开。
在码元持续时间TB内任意两个子载波都正交的条件是[2]：
?TB0cos(2?fkt??k)cos(2?fit??i)dt?0TB0即，?cos(2?fkt??k)cos(2?fit??i)dt?1TB1TBcos[(2?(f?f)t????]?cos[(2?(fk?fi)t??k??i]dt?0kiki??0022（3）
积分结果为：sin[2?(fk?fi)TB??k??i]sin[2?(fk?fi)TB??k??i]sin(?k??i)sin(?k??i)???2?(fk?fi)2?(fk?fi)2?(fk?fi)2?(fk?fi)解出：fk?(m?n)/2T,fi?(m?n)/2T即，子载波满足：fk?k/2TB,k为整数
且要求子载波间隔：?f?fk?fi?n/TB故要求的最小子载波间隔为：?fmin?1/TB时域OFDM符号间的子载波：
??0k?icos(2?ft??)cos(2?ft??)dt??kkii?0?0k?i传输过程中，幅值和相位不影响正交性，故一般的：TB TB1sin(4?fkt)TBTB2cos(2?ft)dt??|?k0?0224?fk2TB （4）
1TB?TB0ejwnt·e?jwmt?1m?ndt???0m?n系统实现：
3
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图六：OFDM系统
1IDFT:x[n]?N~?X[k]ek?0N?1~j(2?/N)knDFT:X[k]?~1N?x[n]en?0N?1~
?j(2?/N)kn （5）
三、优化算法：凸优化技术介绍 3.1 基本概念与定义
凸集的定义：设S是n维实空间
n中的一个集合。若对
(1)(2)S中任意两点，连接它们的线
段仍然属于S；也就是说，对集合S中任意两点x,x?S，有实数??[0,1]，都有
（6）
?x(1)?(1??)x(2)?S
则称S为凸集，而?x一个凸集。
凸函数的定义：设S是n维度实空间果对任意的x,x(1)(2)(1)
?(1??)x(2)称为x(1),x(2)的凸组合。任意多个凸集相交仍然是
n中的一个集合。f是定义在S上的实函数。如
?S及每个实数??[0,1]，都有
（7）
f(?x(1)?(1??)f(x(2)))??f(x(1))?(1??)f(x(2))
则称f是集合S上的凸函数，且-f为S上的凹函数。 凸函数的判别：设S是n维实空间
n中的一个非空凸集，函数(1)(2)f在S上一阶连续可微，
则f为凸函数的充要条件是对任意两点x,x?S，都满足下列不等式：
（8）
f(x(1))?f(x(2))??f(x(1))T(x(2)?x(1))
(1)其中?f(x)表示函数f在点x处的梯度。
(1) 4
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3.2 凸优化问题
凸优化问题的定义，当问题为最小化问题时：
mins.t.f0(x)fi(x)?0,i?1,...,m, hi(x)?0,j?1,...,l.
（9）
若fi(x),i?1,...,m是凸函数，hi(x)是线性函数，则优化问题的可行域为：
S?{x|fi(x)?0,i?1,..,m;hi(x)?0,j?1,...,l}
（10）
由于fi(x)是凸函数，因此满足fi(x)?0的x的集合是凸集。根据凸函数和凹函数的定义，线性函数hi(x)即是凸函数又是凹函数，因此满足hi(x)?0的点的集合也是凸集。由于S是m+l个凸集的交集，因此也是一个凸集。因此，公式（9）中的问题被称为凸优化问题。
3.3 拉格朗日对偶法
假设公式（9）中的问题为原始问题，将满足所有约束条件的解x称为原始向量，并假设p是上述原始问题的全局最小值。通过引入对偶变量??可以得到下面的拉格朗日函数：
*n
和??
l
将约束条件放松，
L(x,?,?)?f0(x)???ifi(x)???jhj(x)
i?1j?1ml （11）
可得对偶函数g(?,?):
g(?,?)?minx?SL(x,?,?)
（12）
当满足??0且g(?,?)有限，则称变量(?,?)可达。
3.4 KKT条件
KKT条件用于判别一个局部极值是否最优的必要条件。通过互补松弛定理[3]：
*假设原始最优解x和对偶最优解(?,?)均可达并且相等，则下面的条件必然成立：
*?*ifi(x)?0,i?1,...,m
** （13）
进一步：
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