(课标通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2函数的单调性与最值学案理

单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． [题点发散1] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝|－x＋2x＋1|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x＋2x＋1|的图象如图所示．

2

2

由图象可知，函数y＝|－x＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)； 单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．

[题点发散2] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝－x＋2|x|＋1”，如何求解？ 解：由－x＋2|x|＋1≥0，得1－2≤|x|≤1＋2，又|x|≥0，∴0≤|x|≤1＋2， 即－1－2≤x≤1＋2.

根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为[－1－2，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1,1＋2 ]．

[点石成金] 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法

2

2

2

[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分

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别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域．

(2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，

u＝g(x)．

(3)分别确定这两个函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”.

[2017·天津模拟]函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0

?1?A.?0，? ?2?

B．[a，1]

?1?C．(－∞，0)∪?，＋∞? ?2?

D．[a，a＋1 ] 答案：B

?1??1?解析：由图象知f(x)在(－∞，0]和?，＋∞?上单调递减，而在?0，?上单调递增．又

?2??2?

0

2?2?

考点3 函数单调性的应用

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函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有________； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 条件 结论 M为最大值 M为最小值 答案：(1)f(x)≤M (3)f(x)≥M

[考情聚焦] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题的某一问中．

主要有以下几个命题角度： 角度一

利用函数的单调性求最值

1??，x≥1，

[典题3] (1)函数f(x)＝?x??－x2＋2，x<1[答案] 2

1

[解析] 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)

的最大值为________．

x＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

(2)已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)． ①当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；

②求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．

1

[解] ①当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－

2

axx?1－1?＝(x－x)?2＋1?. ?x1x2?12?????x1x2?

∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.

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∴f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，

当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]． ②当a≥0时，y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值， 当x＝1时取得最大值2－a； －a当a＜0时，f(x)＝2x＋，

x当

－≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝12

a时取得最小值2－a，

当

－＜1，即a∈(－2,0)时，y＝f(x)在?0，2?

a?

－ ?上单调递减，在?2??

a??

－，1?上

2?

a?

单调递增，无最大值，

当x＝角度二

比较两个函数值或两个自变量的大小

[典题4] [2017·黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当

－时取得最小值2－2a. 2

ax2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f?－?，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，

2c的大小关系为( )

A．c>a>b C．a>c>b [答案] D

[解析] 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．

B．c>b>a D．b>a>c

?1???

?1??5?由此可得f?－?＝f ??. ?2??2?

由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 5?5?∵1<2<f??>f(e)， 2?2?∴b>a>c. 角度三

利用函数的单调性求解不等式

[典题5] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )

A．(8，＋∞)

B．(8,9]

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