第一章 课程知识
1.
高中数学课程的地位和作用：
高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。
高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 高中数学课程的基本理念：
高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。
高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。
让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。
提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广
⑴
⑵
⑶
⑷
2.
⑴
⑵
⑶
⑷
泛性需要学生具有应用意识。
强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。
重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的重要作用。
全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和过程性评价。 高中数学课程的目标：
总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力 高中数学课程的内容结构：
⑸
⑹
⑺
⑻
3.
⑴
⑵
⑶
⑷
4.
⑴
必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）
选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：
选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、推理与证明、复数、框图）
选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） 选修系列3（6个专题） 选修系列4（10个专题）
⑵
①
②
③
④
5.
高中数学课程的主线：
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 教学建议：
以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划 帮助学生打好基础，发展能力：
6.
⑴
⑵
①
强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 ②
重视基本技能的训练
③
与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑶
注重联系，提高对数学整体的认知
⑷
注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 ⑸
关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 ⑹
改善教与学的方式，使学生主动地学习 ⑺
恰当运用现代信息技术，提高教学质量 7.
评价建议：
⑴
重视对学生数学学习过程的评价
⑵
正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶
重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）
⑷
实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象） ⑸
根据学生的不同选择进行评价
第二章 教学知识
8.
教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”） 教学过程
备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）
9.
10. 教学方法
⑴
讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）
讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。
自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。
⑵
⑶
⑷
11. 概念教学
⑴
概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。
概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）
概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“??(??)=????”） 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）
⑵
⑶
⑷
12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性
策略（教学实施之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）
13. 推理教学
⑴
推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的
推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）
⑵
14. 问题解决教学
⑴
数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所得到的解）
非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检验；交流和评价；推广）
⑵
⑶
15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习
第三章 教学技能
16. 教学设计
⑴
课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。 教学设计与教案的关系：
⑵
①
内容不同：
教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。 核心目的不同：
教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。 范围不同：
从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。
②
③
⑶
数学课堂教学设计的意义：
使课堂教学更规范、操作性更强 使课堂教学更科学 使课堂教学过程更优化
①
②
③
⑷
数学课堂教学设计的基本要求：
①
充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 适应学生的学习心理和年龄特征 重视课程资源的开发和利用 注重预设与生成的辩证统一 辩证认识和处理教学中的多种关系 整体把握教学活动的结构
②
③
④
⑤
⑥
⑸
数学教学设计的准备：
认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求 全面关注学生需求
认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图
广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计
制定学期教学计划、单元教学计划
①
②
③
④
⑤
⑹
教材分析
分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务 整体系统的观念用教材
①
②
③
理解教材的编排意图 突出教材的重点和难点
④
⑺
学情分析
分析学生原有的认知基础 分析学生的个体差异 了解学生的生理、心理
了解学生对本学科学习方法的掌握情况 分析学习知识时可能要遇到的困难
①
②
③
④
⑤
⑻
制定合理教学目标的要求
反映学科特点，体现内容本质 要有计划性，可评价性 格式要规范，用词要考究
要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究） 要实在具体，不浮华
①
②
③
④
⑤
⑥
⑼
教学反思
教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文 教学设计的撰写：
教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法） 学情分析
教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析 教学理念 教学策略 教学环境 教学过程 教学反思
①
②
⑽
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
17. 教学实施
⑴
课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法
课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问 学生活动：
学生活动体现了学生在学习中的主体地位
作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 学生活动的目的是促进学生的理解 从总体上说，学生活动必须是思维活动
⑵
⑶
⑷
①
②
③
④
⑸
课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法
结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓
⑹
18. 教学评价
⑴
数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果
数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章 常用数学公式
⑵
一、 函数、导数
1.
函数的单调性
设??1、??2∈[??,??]且??1
⑴
??(??1)???(??2)<0???(??)在[??,??]上是增函数； ??(??1)???(??2)>0???(??)在[??,??]上是减函数。
⑵
设函数y=??(??)在某个区间内可导，若??′(??)>0，则在该区间内
??(??)为增函数；若??′(??)<0，则在该区间内??(??)为减函数
2.
函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）
对于定义域内任意的??，都有??(???)=??(??)，则??(??)是偶函数； 对于定义域内任意的??，都有??(???)=???(??)，则??(??)是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。 函数在点??0处的导数的几何意义
函数??=??(??)在点??0处的导数??′(??0)是曲线??=??(??)在P(??0,??(??0))处的切线的斜率，相应的切线方程是?????(??0)=
3.
??′(??0)(?????0)。
4.
几种常见函数的导数
C′=0（C为常数）；(????)′=????ln??；
(????)′=???????1（n∈Q）；(????)′=????；
(sin??)′=cos??；(cos??)′=?sin??；
(arc sin??)
′=?(arc cos??)′=1√1???2； (arc tan??)′=?(arc cot??)′=11+??2；
(ln??)
′=1′1??；(log????)=??ln??；
5.
导数的运算法则
(??±??)′=??′±??′；(????)′=??′??+????′；??=??(??)，??′=??′(??)??′
6.
幂函数??(??)=????（α∈R，α≠1）
(??)，v=
??αα<0 0<α<1 α>1 性质 ??= ?? ??为奇数， 奇函数 ??为奇数 ??为奇数， ??为偶数 ??为偶函偶数， 数 ??为奇数 第一象限图像 减函数 增函数 增函数 过定点(1,1) 7.
求函数??=??(??)的极值的方法:解方程??′(??)=0。当??′(??0)=0时：
如果在??0附近的左侧??′(??0)>0，右侧??′(??0)<0，则??(??0)是极大值；
如果在??0附近的左侧??′(??0)<0，右侧??′(??0)>0，则??(??0)是极小值；
凹凸函数：设??(??)在开区间I上存在二阶导数：
若对任意??∈I，有??“(??)>0，则??(??)在I上为下凸函数； 若对任意??∈I，有??“(??)<0，则??(??)在I上为上凸函数；
⑴
⑵
8.
⑴
⑵
二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量
9.
同角三角函数的基本关系式
sin??+cos2??=1，tanθ=
2sinθ
，tan???cot??=1
cosθ
10. 正弦、余弦的诱导公式
sin(
??π
2±α)={
???1(?1)2cos??(??为奇数) ??+1(?1)2sin??(??为奇数)
??(?1)2cos????(?1)2sin??(??为偶数)
cos(
??π
2±α)={
(??为偶数)
11. 和角与差角公式
sin(α±β)=sin??cos??±cos??sin??； cos(α±β)=cos??cos???sin??sin??；
tan??±tan?? 1?tan??tan??tan(α±β)=
αsin??+??cos??=√??2+??2sin(α±φ)（辅助角φ所在象限由点(??,??)的象限决定, tanθ=）
??b
12. 二倍角公式
sin2??=2sin??cos??；
cos2α=cos2???sin??=2cos2???1=1?2sin??；
tan2??=
222tan?? 21?tan??13. 三角函数的周期
函数??=??sin(ωα+φ)，??∈R及函数??=??cos(ωα+φ)，??∈R（??，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期T=
??2????；函数??=
??tan(ωα+φ)，??≠????+2，??∈Z（??，ω，φ为常数，且A≠
0，ω>0）的周期T=。
????14. 三角函数的图像变换：
⑴
函数??=??sin(ωα+φ)，??∈R即??=sin??横坐标伸长（0<
1??ω<1）或缩短（ω>1）到原来的ω倍，再向左（??>0）或向右（<ωω
0）平移|??|个单位，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（0 到原来的A倍。 函数??=??sin(ωα+φ)，??∈R即??=sin??向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位，再横坐标伸长（0<ω<1）或缩短 1（ω>1）到原来的ω倍，再，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（0< ⑵ A<1）到原来的A倍。 15. 正弦定理 ??sin??=sin??=sin??=2??（??是?ABC外接圆的半径） ????16. 余弦定理 ??2=??2+??2?2????cos??; ??2=??2+??2?2????cos??; c=??2+??2?2????cos?? 17. 三角形面积公式 111 S=????sin??=????sin??=????sin?? 222 18. a 与b的数量积（或内积） ?????=|??|?|??|cos??（??是向量a，b的夹角） 19. 向量的坐标运算 ⑴ 设A(??1,??1,??1)，B(??2,??2,??2),则??????????????? =??????????????? ???????????????? =(??2? ??1，??2???1，??1???2)； ⑵ 设??(??1,??1,??1)，??(??2,??2,??2),则?????=??1??2+??1??2+ ??1??2； ⑶ 设??(??,??,??)，则|??|=√??2+??2+??2。 20. 两向量的夹角公式 设??(??1,??1,??1)，??(??2,??2,??2),且??≠??，则cos??=|??|?|??|= ??1??2+??1??2+??1??2√??12+??12+??12√??22+??22+??22????? 。 21. 向量的平行与垂直 ????????∕??????=λ?????1=??1=??1； 222??⊥??(??≠??)??????=0???1??2+??1??2+??1??2=0 三、 数列、集合与命题 22. 数列的通项公式与前??项的和的关系 ??1??=1（数列{??}的前??项的和为??=??+????={??????? ????1???1??≥2??2+?+????） 23. 等差数列的通项公式和前??项和公式 (?1)+????) ????=??1+(???1)??；????=??(??12=n??1+?????? 224. 等比数列的通项公式和前??项和公式 ????=??1?????1；????={??????1，??=1??1(1???) 1???= ??1???????，??1???≠1 25. 数列求和常见结论： 1????111=????； ()（p 12+22+32+?+??2=1??(??+1)(2??+1)； 61+2+3333+?+??3= 21[2??(??+1)]。 ????26. 有??个元素的集合，含有2个子集，2?1个真子集。 27. 原命题：若p则??；否命题：若?p则???；命题的否定：若p则???。 28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“?”；存在量词又称特称量 词，写作“?”。 四、 不等式 29. 均值不等式 设??，b∈??+， 30. 柯西不等式 ??+b 2 ≥√???? (当且仅当??＝b时取“=”号) 22222(??21+??2+?+????)(??1+??2+?+????)≥(??1??1+ ??2??2+?+????????)2，其中??1，?，????，??1，?，????∈??+，当且仅 当??1=??2=?=????时不等式取等号。 12????????31. Jensen不等式 [??(??)+??(??)+??(??)] 3≤??( ??+??+??) 332. 三角不等式：||??|?|??||≤|??±??|≤|??|+|??| 33. 指数不等式：????(??) >??(??>0,??>0)???(??)lg??>lg?? 五、 解析几何与立体几何 34. 直线的五种方程 ⑴ 点斜式：?????0=??(?????0)（直线l过点(??0,??0)，且斜率为k） 斜截式：??=????+??（b为直线l在y轴上的截距） 两点式：???????12???1⑵ ⑶ =???????1（直线l过点(??1,??1)(??2,??2)，且??12???1≠??2， ??1≠??2） ⑷ 截距式：??+??=0（??、b分别为直线的横、纵截距，??,??≠0） 一般式：????+????+??=0（其中A、B不同时为0） ????⑸ 35. 两条直线的平行和垂直 若??1：y=??1??+??1，??2：y=??2??+??2 ⑴ ??1∕???2???1=??2，??1≠??2； ⑵ ??1⊥??2???1???2=?1 36. 点(??0,??0)到直线??：????+????+??=0（的距离 d= |????0+????0+??| √??2+??2 37. 角平分线所在直线的方程 ???1??2???tan??=1??=，其中??1、??2分别为角的边所在直线的斜率，+?????1+?????122??为原角的大小 38. 圆的三种方程 ⑴ 圆的一般方程：??2+??2+D??+????+??=0(??2+??2?4??>0) 圆的标准方程：(?????)2+(?????)2=??2 圆的参数方程：{??=??+??cos?? ??=??+??sin??⑵ ⑶ 39. 两个圆的公共弦所在方程 (??2+??2+D1??+??1??+??1)?(??2+??2+D2??+??2??+??2)=0 40. 直线与圆的位置关系 直线??：????+????+??=0与圆(?????)2+(?????)2=??2的位置关系有三种： d>r?相离?Δ<0；d=r?相切?Δ=0；d |????+????+??|√??2+??2 41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 ??椭圆：??+=1(??>??>0)，??2???2=??2，离心率??=2????222????<1， 准线??=± ??2??=??cos??，椭圆上的点与两个定，参数方程是{????=??sin??点??1(??,0)、??2(???,0)的距离之和等于常数（2??）。 ????双曲线：?=1(??>??>0)，??2???2=??2，离心率??=22????22????>1， 准线??=± ??2??2，渐近线方程是??2??= ??2，椭圆上的点与两个定点??2??1(??,0)、??2(???,0)的距离之差等于常数（2??）。 ??抛物线：??2=2????，焦点(??,0，准线??=?，焦半径|PF|=??+，)0222??过抛物线焦点的弦长|AB|=??1+??2+??，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 ⑴ ????????若双曲线方程为???=1??=0???=±??。 2222?????????????????±=0?双曲线可设为???=??。 2????2??????222222⑵ 若渐近线方程为??=± 22????22⑶ ??????若双曲线与???=1有公共渐近线，可设为?=??（??>0，222????????2焦点??在轴上；??<0，焦点y在轴上） 43. 若斜率为??的直线与圆锥曲线相交于A(??1,??1)、B(??2,??2)两点，则弦 长公式为 AB=√(1+??2)[(??1+??2)2?4??1??2]=√(1+ 1??2)[(??1+??2)2?4??1??2]（??≠0） 44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=2πr??，表面积=2πr??+2π??2，体积= ????（??是柱体的底面积，??是柱体的高）；圆锥侧面积=πr??，表面积=πr??+π??2，体积= ????（??是锥体的底面积，??是锥体的高）； 31球的半径是 ??，则其体积V=πR3，其表面积??=4πR2 34六、 空间几何 45. 平面方程： ⑴ 点法式：??(?????0)+??(?????0)+??(?????0)=0，??=(??,??,??)是平面的法向量 一般式：A??+????+????+??=0（??,??,??不全为0） 参数式：已知平面Π上一点M(??0,??0,??0)以及平行于平面的两不共线向量μ1=(??1,??1,??1)和μ2=(??2,??2,??2)，则有 ⑵ ⑶ ??=??1??1+??2??2+??0{??=??1??1+??2??2+??0 ??=??1??1+??2??2+??046. 两平面间的关系: ????????⑴ Π1∕?Π2???1=??1=??1≠??1；（法向量共线但两平面不重合） 2222⑵ Π1⊥Π2???1??2+??1??2+??1??2=0 2Π1与Π2的夹角（θ<）：cos??=|??1|?|??=| ⑶ π2 |?????| 12|??1??2+??1??2+??1??2|22222√??21+??1+??1?√??2+??2+??2 47. 直线方程： ⑴ 一般式（交面式）：{ ??1??+??1??+??1??+??1=0 ??2??+??2??+??2??+??2=0⑵ ??=??0+????参数式：{??=??0+???? ??=??0+????对称式（标准式）： ?????0??⑶ = ?????0??= ?????0 ??48. 直线与平面的关系： ⑴ ??∕?Π?A??+????+????=0且A??0+????0+????0+??≠0； ??⊥Π???=??=?? ??与Π的夹角（θ<2）：sin??=√π |A??+????+????|⑵ A????⑶ ??2+??2+??2?√??2+??2+??2 49. 曲面方程： ⑴ ????单叶双曲面：??+?=1（??,??,c>0） 22??????2222222⑵ ????双叶双曲面：??+?=?1（??,??,c>0） 22??????222⑶ ??椭圆抛物面：??+=2??（??,??>0），当??=??时，曲面为旋转????抛物面 ??2??2⑷ 双曲抛物面：?????=2??（??,??>0） 七、 概率统计 50. 平均数、方差、标准差、期望的计算 ??+??2+?+????平均数：??????=1 ??1方差：??2=??[(??1???)2+(??2???)2+?+(???????)2] 标准差：s=√[(??1???)2+(??2???)2+?+(???????)2] ??1期望 51. 回归线方程 ∑?????)(??????????)??=1(?????????2∑??????????=1???????????????2??2???=??+b??，其中b= =，??= ∑??=1(??????????)∑??=1????????????????????????? 52. 独立性检验：??2= ??(?????????)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??) 53. 排列数、组合数 排列数公式：??????=??(???1)?(?????+1)=??! (?????)!，其中??????=??0??=1； 组合数公式：????????= ????=??!????????0??!(?????)! ，其中????=????=1 54. 二项式定理： ⑴ (??+??)??=??0????????0+ ??1???????1??1+?+?????????????????+?+????????0???? ⑵ 第r+1项：????+1=?????????????????（0≤r≤??，r∈Z） ⑶ 系数和：??0??+??1??+?+??????=2??，??0??+??2??+??4??+?=????3??+??5??+?=2???1 ⑷ 当??的绝对值与1相比很小且??不大时，有(1+??)??≈1+????(1???) ??≈1????? 55. 相对独立事件同时发生的概率P(?????) =??(??)???(??) !， +， ??1??56. 正态分布记为ξ~N(??,??2)，其中期望Eξ=μ，方差Dξ=??2，曲线 关于直线??=μ对称并在??=μ时取最大值。 57. 离散型随机变量的期望与方差的性质： ⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 Eξ=??1??1+??2??2+?+????????；E(??)=??（??为常数） Dξ=(??1?Eξ)2??1+(??2?Eξ)2??2+?+(?????Eξ)2????D(??)=0（??为常数） 设η=??ξ+b，则E(η)=??Eξ+b，D(η)=??2Dξ，D(η)=Eξ2?(Eξ)2 ； ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 若ξ~B(??,??)，则Eξ=????，Dξ=????(1???)；若ξ服从几何分布，且P(ξ=??)=??(??,??)，则Eξ=，Dξ= ??11?????2。 八、 复数 58. 复数的除法运算： ??+????(??+????)(???????)(????+????)+(?????????)??== ??+????(??+????)(???????)??2+??259. 复数z =??+????的模：|??|=|??+????|=√??2+??2 60. 复数之间不能进行大小比较 61. 设一元三次方程????3+????2+c??+??=0（??≠0）的三个根分别 是??1,??2,??3，则有： ⑴ ????1+??2+??3=???，????+????+????=，??1??2??3=122313??????? ??令?=()+()，其中p= 23??2??33???????23??2⑵ ，q= 27??2???9??????+2??327??3 当?>0时，方程有一个实根，一对共轭复根； 当?=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根； 当?<0时，方程有三个不等实根。 九、 极限与级数 62. 柯西收敛准则：数列{????}收敛的充分必要条件是：对于任意ε>0，存 在整数N>0，使 得当n，m>N时，有|?????????|< ??。 63. 极限的定义： ??→??0lim??(??)=??：对于任意ε>0，存在正数δ，当0< |?????0|<δ时，有|??(??)???| 64. 当??→ 0时，有?????1~??~sin??~ln(1+??)，1 =lim ln(1+??) ?cos??~ 1??) ??22，则有 ??→0??lim sin????→0??= 1??1，lim(1+??)??→0=lim(1+????→0=?? 65. 函数极限的计算： ⑴ ??→??0lim [??(??)]??=[??lim??(??)]（??∈??+）其中各函数极限均存在 →??0??⑵ 洛必达法则：若函数和满足下列条件： lim??(??)=??lim??(??)=?? ，其中??=0或??=→??① ??→??∞； 在点??的某去心邻域内两者均可导，且??′(??)≠0； = ??′(??) lim ??→????′(??) ② ??(??) 则有??lim→????(??) 66. 拉格朗日中值定理：如果函数??(??)满足在闭区间[??,??]上连续；在开 区间(??,??)内可导；那 么在开区间(??,??)内至少有一点ε（??<ε 67. 正项级数敛散性判断： ⑴ 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 比值与根值判别法： { ⑵ <1，级数∑∞??=1????收敛=1，此判别法失效 { 若??lim→∞????+1????=??>1，级数∑∞lim????=+∞； ??=1????发散，且??→∞<1，级数∑∞??=1????收敛=1，此判别法失效 ??若??lim lim????=+∞；√????=??>1，级数∑∞??=1????发散，且??→∞→∞ ⑶ 1∞与p级数比较：设∑∞??=1????=∑??=1????>0，当p>1时收敛，当p≤1 时发散。 68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数∑∞??=1(?1) ∑∞足????≥????+1，n≥N>1；lim?? ???1敛，且其和0<∑∞???? 69. 幂级数收敛半径及收敛域： ??设幂级数∑∞??=0????(?????0)，则有 ??，0 {+∞，??=0⑵ ??判断∑∞??=0????(?????0)在?????0=±R处的敛散性； 1⑶ 若该级数在?????0=R处收敛，则其收敛域为(?R+??0,R+??0]；若该级数在?????0=?R处收敛，则其收敛域为[?R+??0,R+??0)；若该级数在?????0=±R处都收敛，则其收敛域为[?R+??0,R+ ??0]]。 十、 矩阵、线性空间与线性变换 70. 矩阵的转置： ⑴ 对于??阶实矩阵??，若满足??????=??或??????=??（为单位矩阵），则矩阵??称为正交矩阵，其中????为??的转置； ⑵ 若??阶方阵??满足????=??，则称??为对称矩阵；若??阶方阵??满足????=???，则称??为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0； 转置的运算规律：(????)??=???????? ⑶ 71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的 秩 72. 特征值和特征向量： ⑴ ????? 和实数λ，满足Mα???? =λα???? ，则给定矩阵M，若存在一个非零向量α ????? 为矩阵M的属于特征值λ的特征向量。 称λ为矩阵M的特征值，α ⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩阵的行列式的值。 若同阶矩阵??和??的特征值相同，则有??等价于??。 ⑶ 73. 非异矩阵：若??阶矩阵??的行列式不为零，即|??|≠0，则称??为非奇异 矩阵或满秩矩阵， 否则称??为奇异矩阵或降秩矩阵。 74. 相似、合同： ⑴ 相似：?非异矩阵P，使得???????1=??，则有??相似于??。 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 ⑵ ⑶ 合同：?非异矩阵P，使得????????=??，则有??与??合同。 合同的判断：正、负特征值的个数相等 ⑷ 75. 线性空间： ⑴ 柯西?布涅科夫斯基不等式：设??是欧式空间，??、??∈R，则 (??,??)2≤(??,??)(??,??)，当且仅当??、??线性相关时，等号才成立 ⑵ ??本身与{??}都是??的子空间，称之为??的平凡子空间，而??的其他子空间称为非平凡子空间。 设??1与??2是线性空间??的两个子空间，则dim??1+dim??2=dim(??1+??2)+dim(??1∩??2) ⑶ 76. 施密特正交化法： 对??维欧式空间??的任一组基??1，??2，??3，?，????， 令??1=??1， ??2,??1)??2=??2?(??1， (??,??) 11(??3,??2)??3,??1)??3=??3?(?????2， 1(??,??)(??,??) 1122?， (????,??2)(????,?????1)??,??1)????=?????((???????????????1， 12(??,??)(??)??,??),??1122???1???11????=|??????，i=1，2，?，?? | ??????即为??的一组标准正交基。
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