【分析】（I）由题意得=， +
=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．
（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P
．利用斜率计算公式可得kCP，可得直线CP的方程，可得
．把直线BC与AP的方程联立可得D
．可得直线DE
E
的斜率，化简整理即可证明． 【解答】解：（I）由题意得=联立解得a2=16，b2=4， ∴椭圆C：
+
=1．
，
+
=1，a2=b2+c2．
证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2）， 直线BC的方程为：
=1，化为：y=x+2．
直线AP的方程为：y=k（x﹣4）， 与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0， 又点P在椭圆上， ∴4xP=
，解得xP=
，
∴yP=k（xP﹣4）=
，
故P．
kCP=
=，
故直线CP的方程为：y=令y=0，解得x=
，可得E
x+2，
．
把直线BC与AP的方程联立可得：，
解得，
∴D．
直线DE的斜率为k1=
==，
∴．
21．已知函数f（x）=lnx （Ⅰ）求函数（Ⅱ）证明：
的最大值．
；
都成立，求实数a的
（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的
取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；
（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）F（x）=
+=
+，F′（x）=
，
令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e， ∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减， 故F（x）max=+；
证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴h（x）的最小值是h（1）=1， 又F（x）的最大值是+＜1， ∴F（x）＜h（x）， 即
+＜x﹣f（x）；
，
解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立， 则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，
令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数， ∵x∈[1，e2]， ∴lnx∈[0，2]，
∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x， 即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立， 故a≤﹣e2．
2016年9月19日
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