7．解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O为图形G；
（2）直线BF与图形G交点只有一个， 理由如下：∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°，
∴BD是直径，∠ADB+∠ABD＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，∠ABF＝∠ABC， ∴∠ABF＝∠ADB， ∴∠ABF+∠ABD＝90°， ∴∠DBF＝90°， ∴BD⊥BF，且OB是半径， ∴BF是圆O的切线，
∴直线BF与图形G交点的只有一个； （3）∵cos∠ABF＝cos∠ADB＝＝∴BD＝5，
，
∴AB＝＝＝3，
∵∠ABE＝∠ADB，∠BAE＝∠BAD＝90°， ∴△ABE∽△ADB， ∴∴
，
∴AE＝， ∴DE＝AD﹣AE＝．
8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC， ∴BC＝AC＝AB＝8，BH＝HC＝4，∠HAC＝30°， ∴AH＝∴DH＝4
HC＝4
﹣x，
，
∴DC2＝DH2+CH2＝（4﹣x）2+16
∵△CDE是等边三角形， ∴y＝S△CDE＝
CD2＝
[（4
﹣x）2+16]＝x2﹣6x+16（0≤x≤4）
（2）∵当△CDE的面积等于△ABC的面积的， ∴∴x＝当x＝
x2﹣6x+16
或
＝×，
×64，
时，即AD＝，如图1，
∴DH＝AH﹣AD＝，
∵tan∠DCH＝＝＝，
∴∠DCH＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCH＝30°， ∴∠ACE＝∠DCE+∠ACD＝90°， ∴CE⊥AC； 当x＝
时，即AD＝
，如图2，
∴DH＝AD﹣AH＝，
∵tan∠DCH＝＝＝，
∴∠DCH＝30°，
∴∠BCE＝∠DCH+∠DCE＝90°， ∴CE⊥BC．
9．解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．
，
解得1＜x＜2；
（2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解， ②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2， ③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，
综上，x＝或；
（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D， 设CD＝h，△ABC的面积为S，则S＝xh， ①若点D在线段AB上， 则
+
＝x，
+1﹣h2，
∴（3﹣x）2﹣h2＝x2﹣2x即x＝3x﹣4，
∴x2（1﹣h2）＝9x2﹣24x+16， 即x2h2＝﹣8x2+24x﹣16．
∴S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（≤x＜2）， 当x＝时（满足≤x＜2），S2取最大值，从而S取最大值②若点D在线段MA上， 则
同理可，得
﹣
＝x，
；
S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4
＝﹣2（x﹣）2+（1＜x≤）， 易知此时S＜
，
．
综合①②得，△ABC的最大面积为
10．解：（1）由题意PC＝1+t，CQ＝3﹣t，
在Rt△PQC中，∵∠C＝90°，PQ＝3，PC＝1+t，CQ＝3﹣t， ∴32＝（1+t）2+（3﹣t）2，
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