∵∠AFK＝60°，AF＝KF， ∴△AFK为等边三角形， ∴∠KAF＝60°， ∴∠KAB＝∠FAC， 在△ABK和△AFC中，
，
∴△ABK≌△AFC（SAS）， ∴∠AKB＝∠AFC＝120°， ∴∠BKE＝120°﹣60°＝60°， ∵∠BPC＝30°， ∴∠PBK＝30°， ∴FP＝CK， ∴PK＝CK， ∵FP＝FK+PK ∴FP＝AF+CF， ∵CF＝CP， 设CP＝9a， ∵CF＝2a， ∴FP＝7a， ∴AF＝5a， ∴
＝
＝．
19．（1）证明：①如图1中，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°， ∵AE＝BF，
∴△ABF≌△CAE（SAS）， ∴AF＝EC．
②如图1中，∵△ABF≌△CAE， ∴∠BAF＝∠ACE，
∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°， 又∵△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°， ∴∠AOE＝∠ADC， ∵∠AOE+∠AOC＝180°， ∴∠ADC+∠AOC＝180°， ∴A，D，C，O四点共圆，
∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°， ∴∠AOD＝∠COD， ∴OD平分∠AOC．
（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．
∵AE＝2CF，AM＝ME， ∴AM＝CF，
∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA， ∴△ACM≌△CAF（SAS）， ∴∠ACM＝∠CAF，
∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF， ∴∠CME＝∠CFP， ∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM， ∴△CME≌△PFC（ASA）， ∴CE＝PC．
20．解：（1）结论：AD＝2PD． 理由：如图1中，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵∠EDC＝120°，
∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，
∴△BDE是等边三角形， ∵BP＝PE， ∴DP⊥AB， ∴∠APD＝90°， ∵DE＝DC，DE＝DB， ∴BD＝CD，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠PAD＝∠BAC＝30°， ∴AD＝2PD．
（2）结论成立．
理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，
BM，CM．
∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°， ∴△DCM是等边三角形，
∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°， ∴∠BCM＝∠ACD， ∴△BCM≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BM， ∵PB＝PE，PD＝PN，
∴四边形BNED是平行四边形， ∴BN∥DE，BN＝DE， ∵DE＝DM，
∴BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BNDM是平行四边形， ∴BM＝DN＝2PD， ∴AD＝2PD．
（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．
∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK， ∴∠BDP＝∠CDK， ∴△PDB≌△KDC（SAS）， ∴PB＝CK，
∵PB+PC＝PC+CK＝定值，
∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，
此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°． 故答案为60°．
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