七大积分总结doc资料

七大积分总结

精品文档

七大积分总结

一． 定积分

1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x0

i?1n记λ=max{△x1, △x2, △x3……, △xn},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ?af(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1bn其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，

?f(?)?xii?0ni称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。 关于定积分的定义，作以下几点说明：

（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字

母记法无关，即?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du。 （2） 定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

bbb精品文档

（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限

细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：

例：?0f(x)dx?lim?f() （此特殊合式在计算中可以作为

n??i?11ni1nn公式使用） 2. 定积分的存在定理

定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义

对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分

?baf(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边

梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分?af(x)dx在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质

线性性质（性质一、性质二）

性质一 ?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx 和差的积分等于积分的和差；

bbbb收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

性质二 ?akf(x)dx?k?af(x)dx （k是常数）

性质三 对区间的可加性 不管a,b,c相对位置如何，总有等式 ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx

性质四 如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则?af(x)dx?b?a 性质五（保号性） 如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则?af(x)dx?0 推论一 设f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则?af(x)dx??ag(x)dx 推论二 ?af(x)dx??af(x)dx (a

性质六（估值定理） 设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b]上最大值和最小值，则 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

性质七（定积分中值定理） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立：

bbbbbbbbcbbb?baf(x)dx?f(?)(b?a) （本性质可由性质六和介值定理一块证得）

5．积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x为区间[a,b]上任意一点，则 f(x)在区间[a,x]上定积分为?af(x)dx，此时x既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成

x?xaf(t)dt，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。

x所以积分?af(t)dt是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做 Φ(x): Φ(x)=?af(t)dt (a≤x≤b)

x收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：

定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为 Φ‘(x)=

dxf(t)dt?f(x) （a≤x≤b） ?adx定理二（原函数存在定理） 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

定理三 如果函数f(t)在区间I1上连续，a(x),b(x)在区间I2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I2上的复合函数，则 F(x)=?a(x)f(t)dt在I2上可导，且 F‘(x)=

db(x)’’

=f[b(x)]·b(x)-f[a(x)]·a(x) f(t)dt?a(x)dxb(x)6.牛顿-莱布尼茨公式

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有?af(x)dx=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。 次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。 7.定积分的常见积分方法 换元法

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

b